Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 578 Атанасян — Подробные Ответы
Используя утверждение \( 2^\circ \), п. 65, докажите теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \) с прямым углом \( C \) выполняется равенство
\[
AC^2 + BC^2 = AB^2.
\]
Решение
Пусть \( CD \) — высота треугольника \( \triangle ABC \) (см. рис. 197). На основании утверждения \( 2^\circ \), п. 65, имеем
\[
AC = \sqrt{AD \cdot AB}, \quad \text{или} \quad AC^2 = AD \cdot AB.
\]
Аналогично
\[
BC^2 = BD \cdot AB.
\]
Складывая эти равенства почленно и учитывая, что \( AD + BD = AB \), получаем:
\[
AC^2 + BC^2 = AD \cdot AB + BD \cdot AB = (AD + BD) \cdot AB = AB^2.
\]
Дано: треугольник \( \triangle ABC \), прямоугольный (\( \angle C = 90^\circ \)), высота \( CD \perp AB \), \( AC = \sqrt{AB \cdot AD} \), \( BC = \sqrt{AB \cdot BD} \). Требуется доказать, что \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \).
Решение:
1. Пусть \( CD \) — высота треугольника \( \triangle ABC \). По условию:
\[
AC = \sqrt{AB \cdot AD}, \quad BC = \sqrt{AB \cdot BD}.
\]
2. Возведем обе стороны в квадрат:
\[
AC^2 = AB \cdot AD, \quad BC^2 = AB \cdot BD.
\]
3. Запишем сумму квадратов:
\[
AC^2 + BC^2 = AB \cdot AD + AB \cdot BD.
\]
4. Вынесем \( AB \) за скобки:
\[
AC^2 + BC^2 = AB \cdot (AD + BD).
\]
5. Так как \( AD + BD = AB \), то:
\[
AC^2 + BC^2 = AB \cdot AB = AB^2.
\]
Доказано, что \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \).
Дано: треугольник \( \triangle ABC \), прямоугольный (\( \angle C = 90^\circ \)), высота \( CD \perp AB \), \( AC = \sqrt{AB \cdot AD} \), \( BC = \sqrt{AB \cdot BD} \). Требуется доказать, что \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \).
Решение:
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \), в котором высота \( CD \) проведена перпендикулярно гипотенузе \( AB \). По свойству прямоугольного треугольника, высота делит гипотенузу \( AB \) на два отрезка: \( AD \) и \( BD \), таких что:
\[
AB = AD + BD.
\]
2. Согласно условию задачи, для катетов \( AC \) и \( BC \) выполняются следующие равенства:
\[
AC = \sqrt{AB \cdot AD}, \quad BC = \sqrt{AB \cdot BD}.
\]
3. Возведем обе стороны этих равенств в квадрат:
\[
AC^2 = AB \cdot AD, \quad BC^2 = AB \cdot BD.
\]
4. Найдем сумму квадратов катетов:
\[
AC^2 + BC^2 = AB \cdot AD + AB \cdot BD.
\]
5. Вынесем \( AB \) за скобки:
\[
AC^2 + BC^2 = AB \cdot (AD + BD).
\]
6. Учитывая, что \( AD + BD = AB \) (по определению гипотенузы), получаем:
\[
AC^2 + BC^2 = AB \cdot AB.
\]
7. Следовательно:
\[
AC^2 + BC^2 = AB^2.
\]
Таким образом, доказано, что сумма квадратов катетов в прямоугольном треугольнике равна квадрату гипотенузы, что соответствует теореме Пифагора.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.