ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 576 Атанасян — Подробные Ответы

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых на \( 11 \, \text{см} \) больше другого. Найдите гипотенузу, если катеты треугольника относятся как \( 6 : 5 \).

Дано: \(\triangle ABC\) прямоугольный, \(\angle C = 90^\circ\), \(AC : BC = 6 : 5\), \(AH = HB + 11 \, \text{см}\), \(CD \perp AB\). Найти: \(AB\).

Решение:

1. По свойству пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике:
\(
BC^2 = AB \cdot HB \quad \text{и} \quad AC^2 = AB \cdot AH.
\)

2. Выразим \(AB\) через пропорцию:
\(
AB = \frac{BC^2}{HB} \quad \text{и} \quad AB = \frac{AC^2}{AH}.
\)
Приравниваем:
\(
\frac{BC^2}{HB} = \frac{AC^2}{AH}.
\)
Подставляем \(AH = HB + 11\):
\(
\frac{BC^2}{HB} = \frac{AC^2}{HB + 11}.
\)

3. Пусть \(HB = x\), тогда \(AH = x + 11\). Подставляем известные отношения:
\(
\frac{25}{36} = \frac{x}{x + 11}.
\)
Умножаем на знаменатель:
\(
25(x + 11) = 36x.
\)
Раскрываем скобки:
\(
25x + 275 = 36x.
\)
Собираем подобные:
\(
11x = 275.
\)
Находим \(x\):
\(
x = \frac{275}{11} = 25 \, \text{см}.
\)

4. Находим \(AH\):
\(
AH = x + 11 = 25 + 11 = 36 \, \text{см}.
\)

5. Находим \(AB\):
\(
AB = AH + HB = 25 + 36 = 61 \, \text{см}.
\)

Ответ: \(AB = 61 \, \text{см}\).

Дано: \(\triangle ABC\) прямоугольный, \(\angle C = 90^\circ\), \(AC : BC = 6 : 5\), \(AH = HB + 11 \, \text{см}\), \(CD \perp AB\). Найти: \(AB\).

Решение:

1. По свойству пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике:
\(
BC^2 = AB \cdot HB \quad \text{и} \quad AC^2 = AB \cdot AH.
\)

2. Выразим \(AB\) через пропорцию:
\(
AB = \frac{BC^2}{HB} \quad \text{и} \quad AB = \frac{AC^2}{AH}.
\)
Приравниваем эти выражения:
\(
\frac{BC^2}{HB} = \frac{AC^2}{AH}.
\)
Подставляем, что \(AH = HB + 11\):
\(
\frac{BC^2}{HB} = \frac{AC^2}{HB + 11}.
\)

3. Пусть \(HB = x\), тогда \(AH = x + 11\). Подставляем известное соотношение сторон \(AC : BC = 6 : 5\). Тогда:
\(
\frac{AC^2}{BC^2} = \frac{36}{25}.
\)
Заменяем \(AC^2\) и \(BC^2\) в пропорции:
\(
\frac{25}{36} = \frac{x}{x + 11}.
\)
Умножаем на знаменатель:
\(
25(x + 11) = 36x.
\)
Раскрываем скобки:
\(
25x + 275 = 36x.
\)
Переносим \(25x\) в правую часть:
\(
275 = 36x — 25x.
\)
Собираем подобные:
\(
275 = 11x.
\)
Находим \(x\):
\(
x = \frac{275}{11} = 25 \, \text{см}.
\)

4. Теперь находим \(AH\):
\(
AH = x + 11 = 25 + 11 = 36 \, \text{см}.
\)

5. Находим \(AB\) как сумму \(AH\) и \(HB\):
\(
AB = AH + HB = 36 + 25 = 61 \, \text{см}.
\)

Ответ: \(AB = 61 \, \text{см}\).