ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 574 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что:  

а) \( h = \frac{ab}{c} \);  

б) \( h^2 = \frac{a^2 b^2}{c^2} \).

Рассмотрим задачу из предоставленного изображения.

Дано: прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \), гипотенуза \( c \), катеты \( a \) и \( b \), высота \( h \), опущенная из вершины \( C \) на гипотенузу \( AB \). Требуется доказать две зависимости:

а) \( h = \frac{ab}{c} \)

б) \( \frac{a^2}{ac} = \frac{b^2}{bc} \)

Решение:

1. Рассмотрим площадь треугольника \( \triangle ABC \), которая может быть выражена двумя способами:
\(
S_{ABC} = \frac{1}{2}ab
\)
и
\(
S_{ABC} = \frac{1}{2}ch.
\)
Приравнивая площади, получаем:
\(
\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch.
\)
Сокращаем:
\(
ab = ch.
\)
Выражаем \( h \):
\(
h = \frac{ab}{c}.
\)
Что и требовалось доказать.

2. Используем теорему Пифагора для выражения катетов \( a \) и \( b \):
\(
a^2 = ac \cdot c, \quad b^2 = bc \cdot c.
\)
Выразим \( ac \) и \( bc \):
\(
ac = \frac{a^2}{c}, \quad bc = \frac{b^2}{c}.
\)
Подставляем в отношение:
\(
\frac{a^2}{ac} = \frac{a^2}{\frac{a^2}{c}} = c,
\)
\(
\frac{b^2}{bc} = \frac{b^2}{\frac{b^2}{c}} = c.
\)
Следовательно:
\(
\frac{a^2}{ac} = \frac{b^2}{bc}.
\)
Что и требовалось доказать.

Рассмотрим задачу из треугольника \( \triangle ABC \), где гипотенуза \( c \), катеты \( a \) и \( b \), высота \( h \), опущенная из вершины \( C \) на гипотенузу \( AB \). Требуется доказать:

а) \( h = \frac{ab}{c} \)
б) \( \frac{a^2}{ac} = \frac{b^2}{bc} \)

Решение:

1. Рассмотрим площадь треугольника \( \triangle ABC \). Она может быть выражена двумя способами:
\(
S_{ABC} = \frac{1}{2}ab
\)
(через катеты \( a \) и \( b \)) и
\(
S_{ABC} = \frac{1}{2}ch
\)
(через гипотенузу \( c \) и высоту \( h \)).

Приравниваем площади:
\(
\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch.
\)

Сокращаем коэффициенты \( \frac{1}{2} \):
\(
ab = ch.
\)

Выражаем высоту \( h \):
\(
h = \frac{ab}{c}.
\)
Таким образом, первая часть доказана.

2. Рассмотрим теорему Пифагора:
\(
a^2 + b^2 = c^2.
\)

Высота \( h \), опущенная на гипотенузу, делит её на два отрезка \( ac \) и \( bc \), такие что:
\(
h^2 = ac \cdot bc.
\)

Используем свойства прямоугольного треугольника для выражения \( a^2 \) и \( b^2 \):
\(
a^2 = ac \cdot c, \quad b^2 = bc \cdot c.
\)

Выразим \( ac \) и \( bc \) через \( a \), \( b \) и \( c \):
\(
ac = \frac{a^2}{c}, \quad bc = \frac{b^2}{c}.
\)

Подставляем эти выражения в отношение:
\(
\frac{a^2}{ac} = \frac{a^2}{\frac{a^2}{c}} = c,
\)
\(
\frac{b^2}{bc} = \frac{b^2}{\frac{b^2}{c}} = c.
\)

Следовательно:
\(
\frac{a^2}{ac} = \frac{b^2}{bc}.
\)

Таким образом, вторая часть доказана.