Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 574 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что:
а) \( h = \frac{ab}{c} \);
б) \( h^2 = \frac{a^2 b^2}{c^2} \).
Рассмотрим задачу из предоставленного изображения.
Дано: прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \), гипотенуза \( c \), катеты \( a \) и \( b \), высота \( h \), опущенная из вершины \( C \) на гипотенузу \( AB \). Требуется доказать две зависимости:
а) \( h = \frac{ab}{c} \)
б) \( \frac{a^2}{ac} = \frac{b^2}{bc} \)
Решение:
1. Рассмотрим площадь треугольника \( \triangle ABC \), которая может быть выражена двумя способами:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2}ab
\]
и
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2}ch.
\]
Приравнивая площади, получаем:
\[
\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch.
\]
Сокращаем:
\[
ab = ch.
\]
Выражаем \( h \):
\[
h = \frac{ab}{c}.
\]
Что и требовалось доказать.
2. Используем теорему Пифагора для выражения катетов \( a \) и \( b \):
\[
a^2 = ac \cdot c, \quad b^2 = bc \cdot c.
\]
Выразим \( ac \) и \( bc \):
\[
ac = \frac{a^2}{c}, \quad bc = \frac{b^2}{c}.
\]
Подставляем в отношение:
\[
\frac{a^2}{ac} = \frac{a^2}{\frac{a^2}{c}} = c,
\]
\[
\frac{b^2}{bc} = \frac{b^2}{\frac{b^2}{c}} = c.
\]
Следовательно:
\[
\frac{a^2}{ac} = \frac{b^2}{bc}.
\]
Что и требовалось доказать.
Рассмотрим задачу из треугольника \( \triangle ABC \), где гипотенуза \( c \), катеты \( a \) и \( b \), высота \( h \), опущенная из вершины \( C \) на гипотенузу \( AB \). Требуется доказать:
а) \( h = \frac{ab}{c} \)
б) \( \frac{a^2}{ac} = \frac{b^2}{bc} \)
Решение:
1. Рассмотрим площадь треугольника \( \triangle ABC \). Она может быть выражена двумя способами:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2}ab
\]
(через катеты \( a \) и \( b \)) и
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2}ch
\]
(через гипотенузу \( c \) и высоту \( h \)).
Приравниваем площади:
\[
\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch.
\]
Сокращаем коэффициенты \( \frac{1}{2} \):
\[
ab = ch.
\]
Выражаем высоту \( h \):
\[
h = \frac{ab}{c}.
\]
Таким образом, первая часть доказана.
2. Рассмотрим теорему Пифагора:
\[
a^2 + b^2 = c^2.
\]
Высота \( h \), опущенная на гипотенузу, делит её на два отрезка \( ac \) и \( bc \), такие что:
\[
h^2 = ac \cdot bc.
\]
Используем свойства прямоугольного треугольника для выражения \( a^2 \) и \( b^2 \):
\[
a^2 = ac \cdot c, \quad b^2 = bc \cdot c.
\]
Выразим \( ac \) и \( bc \) через \( a \), \( b \) и \( c \):
\[
ac = \frac{a^2}{c}, \quad bc = \frac{b^2}{c}.
\]
Подставляем эти выражения в отношение:
\[
\frac{a^2}{ac} = \frac{a^2}{\frac{a^2}{c}} = c,
\]
\[
\frac{b^2}{bc} = \frac{b^2}{\frac{b^2}{c}} = c.
\]
Следовательно:
\[
\frac{a^2}{ac} = \frac{b^2}{bc}.
\]
Таким образом, вторая часть доказана.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.