Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 571 Атанасян — Подробные Ответы
В треугольнике \( ABC \) медианы \( AA_1 \) и \( BB_1 \) пересекаются в точке \( O \). Найдите площадь треугольника \( ABC \), если площадь треугольника \( ABO \) равна \( S \).
Дано: ΔABC; AA₁, BB₁ — медианы; AA₁ ∩ BB₁ = O; \(S_{ABO} = S\).
Найти: \(S_{ABC}\).
Решение:
1. Площадь треугольника ABC выражается как:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH.
\]
2. Площадь треугольника ABO:
\[
S_{ABO} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OH₁ = S.
\]
3. По свойству медианы:
\[
\frac{AO}{CO} = \frac{BO}{OB₁} = \frac{1}{2}.
\]
4. Следовательно:
\[
S_{OBA₁} = \frac{1}{2} \cdot S_{ABO} = \frac{S}{2}.
\]
5. Аналогично:
\[
S_{OBB₁} = \frac{1}{2} \cdot S_{ABO} = \frac{S}{2}.
\]
6. Площадь треугольников \(S_{ABA₁}\) и \(S_{AA₁C}\) равны, так как они равновеликие.
7. Площадь треугольника \(S_{ABA₁}\):
\[
S_{ABA₁} = S_{ABO} + S_{OBA₁} = S + \frac{S}{2} = \frac{3S}{2}.
\]
8. Площадь треугольника \(S_{ABC}\):
\[
S_{ABC} = S_{ABA₁} + S_{AA₁C} = \frac{3S}{2} + \frac{3S}{2} = 3S.
\]
Ответ:
\[
S_{ABC} = 3S.
\]
Дано: треугольник \( \Delta ABC \), медианы \( AA_1 \) и \( BB_1 \), точка пересечения медиан \( O \), площадь треугольника \( \Delta ABO = S \).
Найти: площадь треугольника \( \Delta ABC \).
Решение:
1. Площадь треугольника \( \Delta ABC \) выражается через основание \( AB \) и высоту \( CH \):
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH.
\]
2. Площадь треугольника \( \Delta ABO \) выражается через основание \( AB \) и высоту \( OH_1 \):
\[
S_{ABO} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OH_1 = S.
\]
3. По свойству медианы в треугольнике, медианы делят друг друга в отношении \( 2:1 \), считая от вершины.
Следовательно:
\[
\frac{AO}{CO} = \frac{BO}{OB_1} = \frac{2}{1}.
\]
4. Площадь треугольника \( \Delta OBA_1 \):
\[
S_{OBA_1} = \frac{1}{2} \cdot S_{ABO} = \frac{S}{2}.
\]
5. Аналогично, площадь треугольника \( \Delta OBB_1 \):
\[
S_{OBB_1} = \frac{1}{2} \cdot S_{ABO} = \frac{S}{2}.
\]
6. Рассмотрим треугольники \( \Delta ABA_1 \) и \( \Delta AA_1C \).
Эти треугольники равновеликие, так как:
— У них общее основание \( A_1C \).
— Высоты, проведенные к этому основанию, равны.
Следовательно:
\[
S_{ABA_1} = S_{AA_1C}.
\]
7. Найдем площадь треугольника \( \Delta ABA_1 \):
\[
S_{ABA_1} = S_{ABO} + S_{OBA_1} = S + \frac{S}{2} = \frac{3S}{2}.
\]
8. Площадь треугольника \( \Delta ABC \) равна сумме площадей треугольников \( \Delta ABA_1 \) и \( \Delta AA_1C \):
\[
S_{ABC} = S_{ABA_1} + S_{AA_1C} = \frac{3S}{2} + \frac{3S}{2} = 3S.
\]
Ответ:
\[
S_{ABC} = 3S.
\]
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.