Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 569 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.
Дано: ABCD — трапеция, M ∈ AC, N ∈ BD, AM = MC, BN = ND.
Доказать: MN ∥ AD и MN = ½(AD — BC).
Решение:
1. Проведем через точку M прямую MF, такую, что MF ∥ AD.
2. Поскольку AM = MC и MF ∥ AD, по теореме Фалеса CF = FD.
3. CF = FD и AM = MC, значит, MF — средняя линия треугольника ACD.
4. MF пересекает BD в точке N.
5. CF = FD и BN = ND, значит, NF — средняя линия треугольника BCD, следовательно, N ∈ MF.
6. MF — средняя линия треугольника ACD, значит, MF = ½ AD.
7. NF — средняя линия треугольника BCD, значит, NF = ½ BC.
8. MN = MF — NF = ½ AD — ½ BC = ½(AD — BC).
9. MN лежит на прямой MF, а MF ∥ AD, следовательно, MN ∥ AD.
Что и требовалось доказать.
Дано: ABCD — трапеция, M ∈ AC, N ∈ BD, AM = MC, BN = ND.
Доказать: MN ∥ AD и MN = ½(AD — BC).
Решение:
1. Рассмотрим отрезок AM на диагонали AC. По условию задачи AM = MC, следовательно, точка M является серединой диагонали AC.
2. Проведем через точку M прямую MF, такую, что MF ∥ AD. Поскольку MF ∥ AD и точка M — середина AC, то по теореме Фалеса отрезки CF и FD равны: CF = FD.
3. Рассмотрим треугольник ACD. В этом треугольнике отрезок MF соединяет середины сторон AC и AD (так как CF = FD и AM = MC). Следовательно, MF является средней линией треугольника ACD. По свойству средней линии треугольника, MF ∥ CD и MF = ½ AD.
4. Рассмотрим диагональ BD. По условию задачи BN = ND, следовательно, точка N является серединой диагонали BD.
5. Поскольку CF = FD и BN = ND, то отрезок NF соединяет середины сторон BD и CD в треугольнике BCD. Следовательно, NF является средней линией треугольника BCD. По свойству средней линии треугольника, NF ∥ BC и NF = ½ BC.
6. Теперь рассмотрим отрезок MN. MN лежит на прямой MF, а точка N принадлежит отрезку BD. Поскольку MF ∥ AD и NF ∥ BC, то MN также будет параллельным AD.
7. Найдем длину отрезка MN. Поскольку MN = MF — NF, то:
MN = ½ AD — ½ BC = ½(AD — BC).
8. Таким образом, MN ∥ AD и MN = ½(AD — BC).
Что и требовалось доказать.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.