Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 567 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма (теорема Вариньона).
Дано: ABCD — четырёхугольник; \(BN = NC\), \(CK = KD\), \(DE = ED\), \(BM = MA\).
Доказать: \(MNKE\) — параллелограмм.
Рассмотрим треугольник \(\triangle ABC\): \(BN = NC\) и \(BM = MA\), следовательно, \(NM\) — средняя линия (по определению). Значит:
\[
NM = \frac{1}{2}CA.
\]
Рассмотрим треугольник \(\triangle ADC\): \(CK = KD\) и \(AE = ED\), следовательно, \(KE\) — средняя линия (по определению). Значит:
\[
KE = \frac{1}{2}CA.
\]
Так как \(NM \parallel AC\) и \(KE \parallel AC\), то \(NM \parallel KE\).
Также \(KE = \frac{1}{2}CA\) и \(NM = \frac{1}{2}CA\), следовательно, \(KE = NM\).
Из \(NM \parallel KE\) и \(NM = KE\) следует, что \(MNKE\) — параллелограмм (по признаку параллелограмма).
Что и требовалось доказать.
Дано: ABCD — четырёхугольник; \(BN = NC\), \(CK = KD\), \(DE = ED\), \(BM = MA\).
Доказать: \(MNKE\) — параллелограмм.
Рассмотрим треугольник \(\triangle ABC\). По условию \(BN = NC\), то есть точка \(N\) — середина отрезка \(BC\). Также \(BM = MA\), то есть точка \(M\) — середина отрезка \(AB\). Соединяя точки \(M\) и \(N\), получаем, что \(MN\) — средняя линия треугольника \(\triangle ABC\). Из свойства средней линии треугольника следует, что она параллельна третьей стороне треугольника и равна половине её длины. Таким образом,
\[
MN \parallel AC \, \text{и} \, MN = \frac{1}{2}AC.
\]
Теперь рассмотрим треугольник \(\triangle ADC\). По условию \(CK = KD\), то есть точка \(K\) — середина отрезка \(CD\). Также \(AE = ED\), то есть точка \(E\) — середина отрезка \(AD\). Соединяя точки \(K\) и \(E\), получаем, что \(KE\) — средняя линия треугольника \(\triangle ADC\). Из свойства средней линии треугольника следует, что она параллельна третьей стороне треугольника и равна половине её длины. Таким образом,
\[
KE \parallel AC \, \text{и} \, KE = \frac{1}{2}AC.
\]
Так как \(MN \parallel AC\) и \(KE \parallel AC\), то \(MN \parallel KE\).
Также из равенств \(MN = \frac{1}{2}AC\) и \(KE = \frac{1}{2}AC\) следует, что \(MN = KE\).
Итак, \(MN \parallel KE\) и \(MN = KE\). Это означает, что противоположные стороны четырёхугольника \(MNKE\) равны и параллельны. Следовательно, по определению, \(MNKE\) является параллелограммом.
Что и требовалось доказать.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.