ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 566 Атанасян — Подробные Ответы

Точки \( P \) и \( Q \) — середины сторон \( AB \) и \( AC \) треугольника \( ABC \). Найдите периметр треугольника \( ABC \), если периметр треугольника \( APQ \) равен \( 21 \, \text{см} \).

Дано:
\(
\triangle ABC, \, P \in AB, \, Q \in AC; \, AP = PB, \, AQ = QC, \, P_{APQ} = 21 \, \text{см}.
\)

Решение:
1. \( AB = 2AP \), так как \( AP = PB \).
2. \( AC = 2AQ \), так как \( AQ = QC \).
3. \( PQ \) — средняя линия \(\triangle ABC\), поэтому \( BC = 2PQ \).
4. Треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle APQ\) подобны по трём признакам:
\(
\frac{AB}{AP} = \frac{AC}{AQ} = \frac{BC}{PQ}.
\)
5. Периметр \(\triangle ABC\) в два раза больше периметра \(\triangle APQ\):
\(
P_{ABC} = P_{APQ} \cdot 2 = 21 \cdot 2 = 42 \, \text{см}.
\)

Ответ:
\(
P_{ABC} = 42 \, \text{см}.
\)

Дано:
\(
\triangle ABC, \, P \in AB, \, Q \in AC; \, AP = PB, \, AQ = QC, \, P_{APQ} = 21 \, \text{см}.
\)

Рассмотрим задачу по шагам:

1. Так как \( AP = PB \), то \( AB = 2AP \).
2. Так как \( AQ = QC \), то \( AC = 2AQ \).
3. Точка \( P \) является серединой отрезка \( AB \), а точка \( Q \) — серединой отрезка \( AC \). Следовательно, отрезок \( PQ \) — это средняя линия треугольника \( \triangle ABC \).
По свойству средней линии треугольника:
\(
PQ = \frac{1}{2} BC, \, \text{или } BC = 2PQ.
\)
4. Рассмотрим треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle APQ \).
Они подобны по трём признакам подобия треугольников, так как:
\(
\frac{AB}{AP} = \frac{AC}{AQ} = \frac{BC}{PQ} = 2.
\)
5. Периметры подобных треугольников относятся так же, как и коэффициент подобия:
\(
\frac{P_{ABC}}{P_{APQ}} = 2.
\)
Отсюда:
\(
P_{ABC} = P_{APQ} \cdot 2.
\)
6. Подставляем значение \( P_{APQ} = 21 \):
\(
P_{ABC} = 21 \cdot 2 = 42 \, \text{см}.
\)

Ответ:
\(
P_{ABC} = 42 \, \text{см}.
\)