Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 562 Атанасян — Подробные Ответы
В треугольнике \( ABC \) сторона \( AB \) равна \( a \), а высота \( CH \) равна \( h \). Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник \( ABC \) так, что две соседние вершины квадрата лежат на стороне \( AB \), а две другие — соответственно на сторонах \( AC \) и \( BC \).
Дано:
\[
\triangle ABC; \, AB = a; \, CH = h; \, CH \perp AB; \, MNFE — \text{квадрат;}
\]
Найти:
\[
MN — ?
\]
Решение:
Рассмотрим \(NF \parallel AB\) и \(CA\) — секущая. Углы \(\angle CNF\) и \(\angle CAB\) равны как соответственные, а \(\angle C\) общий. Значит, \(\triangle ABC \sim \triangle NCF\) по двум углам.
Для подобных треугольников выполняется отношение:
\[
\frac{AB}{NF} = \frac{CH}{CQ}.
\]
Поскольку \(MNFE\) — квадрат, \(MN = NF = FE = ME = x\), а \(CQ = h — x\).
Подставим в пропорцию:
\[
\frac{a}{x} = \frac{h}{h — x}.
\]
Решаем уравнение:
\[
ah — ax = hx \quad \Rightarrow \quad ah = (a + h)x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{ah}{a + h}.
\]
Ответ:
\[
MN = \frac{ah}{a + h}.
\]
Дано:
\[
\triangle ABC, \, AB = a, \, CH = h, \, CH \perp AB, \, MNFE — \text{квадрат.}
\]
Найти:
\[
MN — ?
\]
Решение:
1. Рассмотрим прямую \(NF\), которая параллельна \(AB\), и прямую \(CA\), которая является секущей. Так как \(NF \parallel AB\), углы \(\angle CNF\) и \(\angle CAB\) равны как соответственные:
\[
\angle CNF = \angle CAB.
\]
Кроме того, у треугольников \(\triangle ABC\) и \(\triangle NCF\) общий угол \(\angle C\). Следовательно, треугольники подобны по двум углам:
\[
\triangle ABC \sim \triangle NCF.
\]
2. Для подобных треугольников выполняется пропорция сторон:
\[
\frac{AB}{NF} = \frac{CH}{CQ}.
\]
Обозначим длину стороны квадрата \(MNFE\) как \(x\). Тогда все стороны квадрата равны:
\[
MN = NF = FE = ME = x.
\]
Также длина отрезка \(CQ\) выражается как:
\[
CQ = CH — x = h — x.
\]
Подставляем в пропорцию:
\[
\frac{a}{x} = \frac{h}{h — x}.
\]
3. Решим уравнение. Перемножим крест-накрест:
\[
a(h — x) = hx.
\]
Раскрываем скобки:
\[
ah — ax = hx.
\]
Переносим слагаемые с \(x\) в одну часть уравнения:
\[
ah = ax + hx.
\]
Выносим \(x\) за скобки:
\[
ah = x(a + h).
\]
Выражаем \(x\):
\[
x = \frac{ah}{a + h}.
\]
4. Таким образом, сторона квадрата \(MN\) равна:
\[
MN = \frac{ah}{a + h}.
\]
Ответ:
\[
MN = \frac{ah}{a + h}.
\]
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.