Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 558 Атанасян — Подробные Ответы
Прямые \(a\) и \(b\) пересечены параллельными прямыми \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\), причём точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежат на прямой \(a\), а точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) — на прямой \(b\). Докажите, что:
\[
\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}.
\]
Дано:
\[
a \text{ и } b \text{ — прямые;} \quad AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1; \quad A, B, C \in a; \quad A_1, B_1, C_1 \in b.
\]
Требуется доказать:
\[
\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}.
\]
Решение:
Построим \( c \parallel b \), так что \( A \in c \), \( B_2, C_2 \in c \). Угол \( \angle A \) общий, следовательно:
\[
\angle ABB_2 = \angle ACC_2 \text{ (как соответственные углы)}.
\]
Из этого следует, что треугольники \( \triangle ABB_2 \sim \triangle ACC_2 \) (по двум углам). Тогда:
\[
\frac{AB}{BC} = \frac{AB_2}{B_2C_2}.
\]
Так как \( AC_2C_1A_1 \) — параллелограмм, то по свойствам параллелограмма:
\[
AB_2 = A_1B_1 \quad \text{и} \quad B_2C_2 = B_1C_1.
\]
Подставляем это в пропорцию:
\[
\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}.
\]
Таким образом, требуемое равенство доказано.
Дано:
\[
a \text{ и } b \text{ — прямые;} \quad AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1; \quad A, B, C \in a; \quad A_1, B_1, C_1 \in b.
\]
Требуется доказать:
\[
\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}.
\]
Решение:
1. Построим прямую \( c \parallel b \), такую что \( A \in c \), \( B_2, C_2 \in c \).
2. Угол \( \angle A \) является общим для треугольников \( \triangle ABB_2 \) и \( \triangle ACC_2 \).
Кроме того, углы \( \angle ABB_2 \) и \( \angle ACC_2 \) являются соответственными углами при параллельных прямых \( c \parallel b \).
Следовательно, треугольники \( \triangle ABB_2 \) и \( \triangle ACC_2 \) подобны по двум углам.
Из подобия треугольников следует, что:
\[
\frac{AB}{BC} = \frac{AB_2}{B_2C_2}.
\]
3. Рассмотрим параллелограмм \( AC_2C_1A_1 \).
По свойству параллелограмма противоположные стороны равны, то есть:
\[
AB_2 = A_1B_1 \quad \text{и} \quad B_2C_2 = B_1C_1.
\]
4. Подставим эти равенства в пропорцию:
\[
\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}.
\]
Таким образом, требуемое равенство доказано.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.