Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 556 Атанасян — Подробные Ответы
Стороны угла \( O \) пересечены параллельными прямыми \( AB \) и \( CD \). Докажите, что отрезки \( OA \) и \( AC \) пропорциональны отрезкам \( OB \) и \( BD \) (рис. 194).
Решение
Проведём через точку \( A \) прямую \( AC_1 \), параллельную прямой \( BD \) (\( C_1 \) — точка пересечения этой прямой с прямой \( CD \)). Тогда \( \triangle OAB \sim \triangle AC_1C \) по первому признаку подобия треугольников (\( \angle O = \angle CAC_1 \), \( \angle OAB = \angle C \)), следовательно,
\[
\frac{OA}{AC} = \frac{OB}{AC_1}.
\]
Так как \( AC_1 = BD \) (объясните почему), то
\[
\frac{OA}{OB} = \frac{AC}{BD},
\]
что и требовалось доказать.
Дано: \( \angle O; AB \parallel CD \).
Доказать: \( \frac{OA}{OB} = \frac{AC}{BD} \).
Решение:
1. Построим через точку \( A \) прямую \( AC_1 \), такую что \( AC_1 \parallel BD \) и \( AC_1 \cap CD = C_1 \).
2. Рассмотрим треугольники \( \triangle OAB \) и \( \triangle AC_1C \). Углы \( \angle O \) и \( \angle CAC_1 \) равны, как накрест лежащие, а \( \angle OAB = \angle C \), как соответствующие. Следовательно, \( \triangle OAB \sim \triangle AC_1C \) (по двум углам).
3. Из подобия треугольников следует:
\[
\frac{OA}{OB} = \frac{AC}{AC_1}.
\]
4. Четырехугольник \( AC_1DB \) является параллелограммом, так как \( AC_1 \parallel BD \) и \( AB \parallel CD \). Следовательно, \( AC_1 = BD \).
5. Подставляя \( AC_1 = BD \), получаем:
\[
\frac{OA}{OB} = \frac{AC}{BD}.
\]
Что и требовалось доказать.
Дано: \( \angle O; AB \parallel CD \).
Доказать: \( \frac{OA}{OB} = \frac{AC}{BD} \).
Решение:
1. Построим через точку \( A \) прямую \( AC_1 \), такую что \( AC_1 \parallel BD \) и \( AC_1 \cap CD = C_1 \). Это позволит создать дополнительную конструкцию для использования свойств параллельных прямых и подобия треугольников.
2. Рассмотрим треугольники \( \triangle OAB \) и \( \triangle AC_1C \).
— Углы \( \angle O \) и \( \angle CAC_1 \) равны, так как они накрест лежащие при пересечении параллельных прямых \( AB \parallel CD \) с секущей \( AC_1 \).
— Углы \( \angle OAB \) и \( \angle C \) равны, так как они соответствующие при пересечении параллельных прямых \( AB \parallel CD \) с секущей \( OB \).
Таким образом, треугольники \( \triangle OAB \) и \( \triangle AC_1C \) подобны по двум углам.
3. Из подобия треугольников \( \triangle OAB \sim \triangle AC_1C \) следует пропорция сторон:
\[
\frac{OA}{OB} = \frac{AC}{AC_1}.
\]
4. Четырехугольник \( AC_1DB \) является параллелограммом, так как \( AC_1 \parallel BD \) (по построению) и \( AB \parallel CD \) (по условию).
5. В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть \( AC_1 = BD \).
6. Подставляя \( AC_1 = BD \) в пропорцию, получаем:
\[
\frac{OA}{OB} = \frac{AC}{BD}.
\]
Ответ: \( \frac{OA}{OB} = \frac{AC}{BD} \). Доказано.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.