Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 555 Атанасян — Подробные Ответы
Точки \( M, N \) и \( P \) лежат соответственно на сторонах \( AB, BC \) и \( CA \) треугольника \( ABC \), причём \( MN \parallel AC \), \( NP \parallel AB \). Найдите стороны четырёхугольника \( AMNP \), если:
а) \( AB = 10 \, \text{см} \), \( AC = 15 \, \text{см} \), \( PN : MN = 2 : 3 \);
б) \( AM = AP \), \( AB = a \), \( AC = b \).
Дано: треугольник \( \Delta ABC \), точки \( M, N, P \) лежат на \( AB, BC, AC \), при этом \( MN \parallel AC \), \( NP \parallel AB \).
а) \( AB = 10 \, \text{см} \), \( AC = 15 \, \text{см} \), \( PN : MN = 2 : 3 \).
б) \( AM = AP \), \( AB = a \), \( AC = b \).
Найти: \( MN \), \( AM \), \( AP \), \( PN \).
Рассмотрим подобие треугольников \( \Delta ABC \) и \( \Delta AMBN \).
а) Пусть \( PN = 2x \), \( MN = 3x \). Так как \( AMNP \) — параллелограмм (\( MN \parallel AC \), \( NP \parallel AB \)), то \( PN = AM = 2x \), \( MN = AP = 3x \).
Используем подобие треугольников:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{MB}{MN}.
\]
Подставляем:
\[
\frac{10}{15} = \frac{10 — 2x}{3x}.
\]
Решаем уравнение:
\[
10 \cdot 3x = (10 — 2x) \cdot 15,
\]
\[
30x = 150 — 30x,
\]
\[
60x = 150,
\]
\[
x = 2,5.
\]
Тогда:
\[
PN = 2x = 5 \, \text{см}, \quad MN = 3x = 7,5 \, \text{см}.
\]
б) Пусть \( AM = AP = x \). Используем подобие треугольников:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{MB}{MN}.
\]
Подставляем:
\[
\frac{a}{b} = \frac{a — x}{x}.
\]
Решаем уравнение:
\[
ax = (a — x)b,
\]
\[
ax = ab — bx,
\]
\[
ax + bx = ab,
\]
\[
x(a + b) = ab,
\]
\[
x = \frac{ab}{a + b}.
\]
Тогда:
\[
MN = AM = AP = NP = \frac{ab}{a + b}.
\]
Ответ:
а) \( MN = 7,5 \, \text{см} \), \( PN = 5 \, \text{см} \).
б) \( MN = AM = AP = NP = \frac{ab}{a + b} \).
Дано: треугольник \( \Delta ABC \), точки \( M, N, P \) лежат на \( AB, BC, AC \), при этом \( MN \parallel AC \), \( NP \parallel AB \).
а) \( AB = 10 \, \text{см} \), \( AC = 15 \, \text{см} \), \( PN : MN = 2 : 3 \).
б) \( AM = AP \), \( AB = a \), \( AC = b \).
Найти: \( MN \), \( AM \), \( AP \), \( PN \).
Рассмотрим треугольник \( \Delta ABC \) и его части. Так как \( MN \parallel AC \), \( NP \parallel AB \), то треугольники \( \Delta ABC \) и \( \Delta AMBN \) подобны по двум углам (углы при параллельных прямых равны, а угол \( B \) общий).
а) Пусть \( PN = 2x \), \( MN = 3x \). Так как \( AMNP \) — параллелограмм (\( MN \parallel AC \), \( NP \parallel AB \)), то \( PN = AM = 2x \), \( MN = AP = 3x \).
Используем подобие треугольников \( \Delta ABC \) и \( \Delta AMBN \):
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{MB}{MN}.
\]
Подставляем известные значения:
\[
\frac{10}{15} = \frac{10 — 2x}{3x}.
\]
Решаем уравнение:
\[
10 \cdot 3x = (10 — 2x) \cdot 15,
\]
\[
30x = 150 — 30x,
\]
\[
60x = 150,
\]
\[
x = 2,5.
\]
Теперь вычислим длины:
\[
PN = 2x = 2 \cdot 2,5 = 5 \, \text{см},
\]
\[
MN = 3x = 3 \cdot 2,5 = 7 \frac{1}{2} \, \text{см}.
\]
б) Пусть \( AM = AP = x \). Используем подобие треугольников \( \Delta ABC \) и \( \Delta AMBN \):
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{MB}{MN}.
\]
Подставляем:
\[
\frac{a}{b} = \frac{a — x}{x}.
\]
Решаем уравнение:
\[
ax = (a — x)b,
\]
\[
ax = ab — bx,
\]
\[
ax + bx = ab,
\]
\[
x(a + b) = ab,
\]
\[
x = \frac{ab}{a + b}.
\]
Тогда длины равны:
\[
MN = AM = AP = NP = \frac{ab}{a + b}.
\]
Ответ:
а) \( MN = 7 \frac{1}{2} \, \text{см} \), \( PN = 5 \, \text{см} \).
б) \( MN = AM = AP = NP = \frac{ab}{a + b} \).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.