ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 553 Атанасян — Подробные Ответы

Подобны ли равнобедренные треугольники, если они имеют:  

а) по равному острому углу;  

б) по равному тупому углу;  

в) по прямому углу? Ответ обоснуйте.

Дано: ΔABC и ΔA₁B₁C₁ — равнобедренные.
а) ∠A < ∠A₁ < 90°;
б) ∠B = ∠B₁ > 90°;
в) ∠B = ∠B₁ = 90°.
Доказать: ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁.

Доказательство:

а) Так как ΔABC и ΔA₁B₁C₁ равнобедренные, то ∠A = ∠C и ∠A₁ = ∠C₁. Также по условию ∠A = ∠A₁. Следовательно, ∠C = ∠C₁, что доказывает подобие ΔABC и ΔA₁B₁C₁ по двум углам.

б) Углы треугольников связаны соотношением:
\[
∠A + ∠C = 180^\circ — ∠B, \quad ∠A₁ + ∠C₁ = 180^\circ — ∠B₁.
\]
Из равенства углов ∠B = ∠B₁ и равенства треугольников по свойству равнобедренности:
\[
∠A = ∠C = \frac{180^\circ — ∠B}{2}, \quad ∠A₁ = ∠C₁ = \frac{180^\circ — ∠B₁}{2}.
\]
Следовательно, ∠A = ∠C = ∠A₁ = ∠C₁, а также ∠B = ∠B₁. Это доказывает, что ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁ по двум углам.

в) В прямоугольных треугольниках сумма острых углов равна \(90^\circ\):
\[
∠A + ∠C = 90^\circ, \quad ∠A₁ + ∠C₁ = 90^\circ.
\]
Так как треугольники равнобедренные, то:
\[
∠A = ∠C = 45^\circ, \quad ∠A₁ = ∠C₁ = 45^\circ.
\]
Следовательно, ∠A = ∠C = ∠A₁ = ∠C₁, а также ∠B = ∠B₁. Это доказывает, что ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁ по двум углам.

Ответ: ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁.

Дано: ΔABC и ΔA₁B₁C₁ — равнобедренные треугольники.
а) ∠A < ∠A₁ < 90°;
б) ∠B = ∠B₁ > 90°;
в) ∠B = ∠B₁ = 90°.
Доказать: ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) ΔABC и ΔA₁B₁C₁ равнобедренные. Это значит, что углы при основании равны:
\[
∠A = ∠C, \quad ∠A₁ = ∠C₁.
\]
По условию задано, что \(\angle A < \angle A₁ < 90^\circ\). Так как углы \(\angle A\) и \(\angle A₁\) равны углам \(\angle C\) и \(\angle C₁\) соответственно, то:
\[
∠C = ∠C₁.
\]
Также известно, что \(\angle B\) и \(\angle B₁\) являются третьими углами треугольников. Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому:
\[
∠B = 180^\circ — (∠A + ∠C), \quad ∠B₁ = 180^\circ — (∠A₁ + ∠C₁).
\]
Из равенства углов \(\angle A = \angle A₁\) и \(\angle C = \angle C₁\) следует, что \(\angle B = \angle B₁\). Таким образом, треугольники подобны по двум углам.

б) Рассмотрим случай, когда \(\angle B = \angle B₁ > 90^\circ\).
Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому:
\[
∠A + ∠C = 180^\circ — ∠B, \quad ∠A₁ + ∠C₁ = 180^\circ — ∠B₁.
\]
Так как треугольники равнобедренные, то:
\[
∠A = ∠C = \frac{180^\circ — ∠B}{2}, \quad ∠A₁ = ∠C₁ = \frac{180^\circ — ∠B₁}{2}.
\]
Из условия \(\angle B = \angle B₁\), следовательно:
\[
∠A = ∠C = ∠A₁ = ∠C₁.
\]
Таким образом, треугольники подобны по двум углам.

в) Рассмотрим случай, когда \(\angle B = \angle B₁ = 90^\circ\).
В прямоугольных треугольниках сумма острых углов равна \(90^\circ\), поэтому:
\[
∠A + ∠C = 90^\circ, \quad ∠A₁ + ∠C₁ = 90^\circ.
\]
Так как треугольники равнобедренные, то:
\[
∠A = ∠C = 45^\circ, \quad ∠A₁ = ∠C₁ = 45^\circ.
\]
Следовательно, \(\angle A = \angle C = \angle A₁ = \angle C₁\), а также \(\angle B = \angle B₁\). Таким образом, треугольники подобны по двум углам.

Ответ: ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁.