Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 552 Атанасян — Подробные Ответы
Диагонали трапеции \( ABCD \) с основаниями \( AB \) и \( CD \) пересекаются в точке \( O \). Найдите:
а) \( AB \), если \( OB = 4 \, \text{см} \), \( OD = 10 \, \text{см} \), \( DC = 25 \, \text{см} \);
б) \(\frac{AO}{OC}\) и \(\frac{BO}{OD}\), если \( AB = a \), \( DC = b \);
в) \( AO \), если \( AB = 9,6 \, \text{дм} \), \( DC = 24 \, \text{см} \), \( AC = 15 \, \text{см} \).
Рассмотрим трапецию \(ABCD\), где \(DC \parallel AB\), а \(CA\) — секущая.
Углы \(\angle DCA\) и \(\angle CAB\) равны как накрестлежащие, а углы \(\angle DOC\) и \(\angle AOB\) равны как вертикальные. Следовательно, треугольники \(\triangle DOC\) и \(\triangle AOB\) подобны по двум углам. Из подобия следует пропорция:
\[
\frac{AB}{DC} = \frac{OB}{OC} = \frac{AO}{OD} = k.
\]
а) Найдем \(AB\):
\[
\frac{AB}{DC} = \frac{4}{10} \quad \Rightarrow \quad k = 0,4.
\]
\[
AB = 0,4 \cdot 25 = 10 \, \text{см}.
\]
б) Из подобия:
\[
\frac{AB}{DC} = \frac{a}{b} \quad \Rightarrow \quad k = \frac{a}{b}.
\]
\[
\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{a}{b}.
\]
в) Найдем \(AO\):
\[
\frac{AO}{OC} = \frac{96}{24} = 4.
\]
\[
AO = 4 \quad \Rightarrow \quad AO = 4(15 — AO).
\]
\[
AC — AO = 60 — 4AO \quad \Rightarrow \quad 5AO = 60 \quad \Rightarrow \quad AO = 12 \, \text{см}.
\]
Ответ:
а) \(AB = 10 \, \text{см};\)
б) \(\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{a}{b};\)
в) \(AO = 12 \, \text{см}.\)
Рассмотрим задачу. Нам дана трапеция \(ABCD\), где \(DC \parallel AB\), а диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). Требуется найти величины, указанные в условиях, используя свойства подобия треугольников.
1. Рассмотрим секущую \(AC\), которая пересекает параллельные стороны \(DC\) и \(AB\). Углы \(\angle DCA\) и \(\angle CAB\) равны как накрестлежащие. Также углы \(\angle DOC\) и \(\angle AOB\) равны как вертикальные. Следовательно, треугольники \(\triangle DOC\) и \(\triangle AOB\) подобны по двум углам.
2. Из подобия треугольников \(\triangle DOC\) и \(\triangle AOB\) следует пропорциональность их сторон:
\[
\frac{AB}{DC} = \frac{OB}{OC} = \frac{AO}{OD} = k,
\]
где \(k\) — коэффициент подобия.
а) Найдем \(AB\). По условию, \(OB = 4 \, \text{см}\), \(OD = 10 \, \text{см}\), \(DC = 25 \, \text{см}\). Подставим данные в пропорцию:
\[
\frac{AB}{DC} = \frac{OB}{OD}.
\]
Подставляем значения:
\[
\frac{AB}{25} = \frac{4}{10}.
\]
Сократим дробь:
\[
\frac{AB}{25} = 0,4.
\]
Найдем \(AB\):
\[
AB = 25 \cdot 0,4 = 10 \, \text{см}.
\]
б) Найдем отношения \(\frac{AO}{OC}\) и \(\frac{BO}{OD}\). Пусть \(AB = a\), \(DC = b\). Тогда коэффициент подобия:
\[
k = \frac{a}{b}.
\]
Из подобия треугольников:
\[
\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = k = \frac{a}{b}.
\]
в) Найдем \(AO\). По условию, \(AB = 9,6 \, \text{дм} = 96 \, \text{см}\), \(DC = 24 \, \text{см}\), \(AC = 15 \, \text{см}\). Найдем коэффициент подобия:
\[
\frac{AB}{DC} = \frac{96}{24} = 4.
\]
Следовательно:
\[
\frac{AO}{OC} = 4.
\]
Пусть \(AO = x\), тогда \(OC = AC — AO = 15 — x\). Подставим в пропорцию:
\[
\frac{AO}{OC} = 4 \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{15 — x} = 4.
\]
Решим уравнение:
\[
x = 4(15 — x).
\]
Раскроем скобки:
\[
x = 60 — 4x.
\]
Перенесем \(4x\) в левую часть:
\[
5x = 60.
\]
Найдем \(x\):
\[
x = 12.
\]
Таким образом, \(AO = 12 \, \text{см}\).
Ответ:
а) \(AB = 10 \, \text{см};\)
б) \(\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{a}{b};\)
в) \(AO = 12 \, \text{см}.\)
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.