Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 551 Атанасян — Подробные Ответы
На стороне \( CD \) параллелограмма \( ABCD \) отмечена точка \( E \). Прямые \( AE \) и \( BC \) пересекаются в точке \( F \). Найдите:
а) \( EF \) и \( FC \), если \( DE = 8 \, \text{см} \), \( EC = 4 \, \text{см} \), \( BC = 7 \, \text{см} \), \( AE = 10 \, \text{см} \);
б) \( DE \) и \( EC \), если \( AB = 8 \, \text{см} \), \( AD = 5 \, \text{см} \), \( CF = 2 \, \text{см} \).
Дано:
ABCD — параллелограмм;
AE ∩ BC = F;
E ∈ DC;
а) DE = 8 см; EC = 4 см; BC = 7 см; AE = 10 см;
б) AB = 8 см; AD = 5 см; GF = 2 см.
Найти:
а) EF, FC;
б) DE, EC.
Решение:
а) Рассмотрим треугольники ADE и EFC.
Так как \(\angle DEA = \angle FEC\) (вертикальные углы) и \(\angle EAD = \angle EFC\) (накрестлежащие углы), то треугольники ADE и EFC подобны по двум углам.
Из подобия:
\[
\frac{AE}{EF} = \frac{DE}{EC} = \frac{AD}{FC}.
\]
Подставим данные:
\[
\frac{10}{EF} = \frac{8}{4} = \frac{7}{FC}.
\]
Найдем \(EF\):
\[
\frac{10}{EF} = 2 \Rightarrow EF = \frac{10}{2} = 5 \, \text{см}.
\]
Найдем \(FC\):
\[
\frac{7}{FC} = 2 \Rightarrow FC = \frac{7}{2} = 3,5 \, \text{см}.
\]
б) Рассмотрим треугольники ADE и EFC.
Так как \(\angle DEA = \angle FEC\) (вертикальные углы) и \(\angle EAD = \angle EFC\) (накрестлежащие углы), то треугольники ADE и EFC подобны по двум углам.
Из подобия:
\[
\frac{AE}{EF} = \frac{DE}{EC} = \frac{AD}{FC}.
\]
Подставим данные:
\[
\frac{AE}{EF} = \frac{DE}{EC} = \frac{5}{2}.
\]
Найдем \(DE\):
\[
AB = CD = 8 = DE + EC \Rightarrow EC = 8 — DE.
\]
Подставим \(EC = 8 — DE\) в пропорцию:
\[
DE = 20 — 2,5DE \Rightarrow 3,5DE = 20 \Rightarrow DE = \frac{20}{3,5} = 5 \frac{5}{7} \, \text{см}.
\]
Найдем \(EC\):
\[
EC = 8 — DE = 8 — 5 \frac{5}{7} = 2 \frac{2}{7} \, \text{см}.
\]
Ответ:
а) \(EF = 5 \, \text{см}, FC = 3,5 \, \text{см}\);
б) \(DE = 5 \frac{5}{7} \, \text{см}, EC = 2 \frac{2}{7} \, \text{см}\).
Дано:
ABCD — параллелограмм;
AE ∩ BC = F;
E ∈ DC;
а) DE = 8 см; EC = 4 см; BC = 7 см; AE = 10 см;
б) AB = 8 см; AD = 5 см; GF = 2 см.
Найти:
а) EF, FC;
б) DE, EC.
Решение:
а) Рассмотрим треугольники ADE и EFC.
1) Углы \(\angle DEA = \angle FEC\) равны, так как они вертикальные.
2) Углы \(\angle EAD = \angle EFC\) равны, так как они накрестлежащие (прямые, образованные параллельными сторонами параллелограмма и секущей AE).
3) Следовательно, треугольники ADE и EFC подобны по двум углам.
Из подобия треугольников следует пропорция:
\[
\frac{AE}{EF} = \frac{DE}{EC} = \frac{AD}{FC}.
\]
Подставим известные значения:
\[
\frac{AE}{EF} = \frac{10}{EF}, \quad \frac{DE}{EC} = \frac{8}{4} = 2, \quad \frac{AD}{FC} = \frac{7}{FC}.
\]
Из пропорции видно, что коэффициент подобия \(k = 2\).
Найдем \(EF\):
\[
\frac{10}{EF} = 2 \quad \Rightarrow \quad EF = \frac{10}{2} = 5 \, \text{см}.
\]
Найдем \(FC\):
\[
\frac{7}{FC} = 2 \quad \Rightarrow \quad FC = \frac{7}{2} = 3,5 \, \text{см}.
\]
Ответ для пункта а:
\(EF = 5 \, \text{см}, \, FC = 3,5 \, \text{см}\).
б) Рассмотрим треугольники ADE и EFC.
1) Углы \(\angle DEA = \angle FEC\) равны, так как они вертикальные.
2) Углы \(\angle EAD = \angle EFC\) равны, так как они накрестлежащие (прямые, образованные параллельными сторонами параллелограмма и секущей AE).
3) Следовательно, треугольники ADE и EFC подобны по двум углам.
Из подобия треугольников следует пропорция:
\[
\frac{AE}{EF} = \frac{DE}{EC} = \frac{AD}{FC}.
\]
Подставим известные значения:
\[
\frac{AE}{EF} = \frac{5}{2}, \quad \frac{DE}{EC} = \frac{DE}{8 — DE}.
\]
Найдем \(DE\):
Из условия \(AB = CD = 8 \, \text{см}\), а \(CD = DE + EC\), следует:
\[
EC = 8 — DE.
\]
Подставим \(EC = 8 — DE\) в пропорцию:
\[
\frac{DE}{8 — DE} = \frac{5}{2}.
\]
Решим уравнение:
\[
2DE = 5(8 — DE) \quad \Rightarrow \quad 2DE = 40 — 5DE \quad \Rightarrow \quad 7DE = 40 \quad \Rightarrow \quad DE = \frac{40}{7} = 5 \frac{5}{7} \, \text{см}.
\]
Найдем \(EC\):
\[
EC = 8 — DE = 8 — 5 \frac{5}{7} = 2 \frac{2}{7} \, \text{см}.
\]
Ответ для пункта б:
\(DE = 5 \frac{5}{7} \, \text{см}, \, EC = 2 \frac{2}{7} \, \text{см}\).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.