ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 547 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Дано: треугольники \( \Delta ABC \sim \Delta A_1B_1C_1 \), коэффициент подобия \( k \).

Требуется доказать:
\(
\frac{P_{ABC}}{P_{A_1B_1C_1}} = k.
\)

Решение:
1. По свойству подобных треугольников:
\(
\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k.
\)

2. Выразим стороны треугольника \( \Delta ABC \):
\(
AB = k \cdot A_1B_1, \quad BC = k \cdot B_1C_1, \quad AC = k \cdot A_1C_1.
\)

3. Периметр \( \Delta ABC \):
\(
P_{ABC} = AB + BC + AC = k \cdot A_1B_1 + k \cdot B_1C_1 + k \cdot A_1C_1 = \)
\(=k \cdot (A_1B_1 + B_1C_1 + A_1C_1).
\)

4. Периметр \( \Delta A_1B_1C_1 \):
\(
P_{A_1B_1C_1} = A_1B_1 + B_1C_1 + A_1C_1.
\)

5. Отношение периметров:
\(
\frac{P_{ABC}}{P_{A_1B_1C_1}} = \frac{k \cdot (A_1B_1 + B_1C_1 + A_1C_1)}{A_1B_1 + B_1C_1 + A_1C_1} = k.
\)

Ответ:
\(
\frac{P_{ABC}}{P_{A_1B_1C_1}} = k.
\)

Дано: треугольники \( \Delta ABC \sim \Delta A_1B_1C_1 \), коэффициент подобия \( k \).

Требуется доказать:
\(
\frac{P_{ABC}}{P_{A_1B_1C_1}} = k.
\)

Решение:

1. Согласно свойству подобных треугольников, их соответствующие стороны пропорциональны коэффициенту подобия \( k \):
\(
\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k.
\)

2. Выразим стороны треугольника \( \Delta ABC \) через стороны треугольника \( \Delta A_1B_1C_1 \):
\(
AB = k \cdot A_1B_1, \quad BC = k \cdot B_1C_1, \quad AC = k \cdot A_1C_1.
\)

3. Периметр треугольника \( \Delta ABC \) равен сумме его сторон:
\(
P_{ABC} = AB + BC + AC.
\)

Подставим выражения для сторон:
\(
P_{ABC} = k \cdot A_1B_1 + k \cdot B_1C_1 + k \cdot A_1C_1.
\)

Вынесем \( k \) за скобки:
\(
P_{ABC} = k \cdot (A_1B_1 + B_1C_1 + A_1C_1).
\)

4. Периметр треугольника \( \Delta A_1B_1C_1 \) равен:
\(
P_{A_1B_1C_1} = A_1B_1 + B_1C_1 + A_1C_1.
\)

5. Разделим периметры треугольников:
\(
\frac{P_{ABC}}{P_{A_1B_1C_1}} = \frac{k \cdot (A_1B_1 + B_1C_1 + A_1C_1)}{A_1B_1 + B_1C_1 + A_1C_1}.
\)

Сократим одинаковые выражения в числителе и знаменателе:
\(
\frac{P_{ABC}}{P_{A_1B_1C_1}} = k.
\)

Таким образом, отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Ответ:
\(
\frac{P_{ABC}}{P_{A_1B_1C_1}} = k.
\)