Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 541 Атанасян — Подробные Ответы
Подобны ли треугольники \( ABC \) и \( DEF \), если \( \angle A = 106^\circ \), \( \angle B = 34^\circ \), \( \angle E = 106^\circ \), \( \angle F = 40^\circ \), \( AC = 4,4 \, \text{см} \), \( AB = 5,2 \, \text{см} \), \( BC = 7,6 \, \text{см} \), \( DE = 15,6 \, \text{см} \), \( DF = 22,8 \, \text{см} \), \( EF = 13,2 \, \text{см} \)?
Дано: ΔABC и ΔDEF, углы и стороны треугольников указаны. Требуется доказать, что ΔABC ∼ ΔDEF.
Решение:
1. По теореме о сумме углов в треугольнике:
\[
\angle C = 180^\circ — \angle A — \angle B = 180^\circ — (106^\circ + 34^\circ) = 40^\circ.
\]
\[
\angle D = 180^\circ — \angle E — \angle F = 180^\circ — (106^\circ + 40^\circ) = 34^\circ.
\]
2. Проверим пропорциональность сторон:
\[
\frac{AB}{DE} = \frac{5,2}{15,6} = \frac{1}{3}, \quad \frac{AC}{EF} = \frac{4,4}{13,2} = \frac{1}{3}, \quad \frac{BC}{DF} = \frac{7,6}{22,8} = \frac{1}{3}.
\]
Все отношения равны \( \frac{1}{3} \), следовательно, стороны пропорциональны.
3. Углы треугольников равны:
\[
\angle A = \angle E, \quad \angle B = \angle D, \quad \angle C = \angle F.
\]
4. По определению подобия треугольников:
\[
\Delta ABC \sim \Delta DEF.
\]
Задача доказана.
Дано: ΔABC и ΔDEF, углы и стороны треугольников указаны. Требуется доказать, что ΔABC ∼ ΔDEF.
Решение:
1. Рассчитаем недостающие углы в треугольниках по теореме о сумме углов треугольника:
Для треугольника ΔABC:
\[
\angle C = 180^\circ — \angle A — \angle B = 180^\circ — (106^\circ + 34^\circ) = 40^\circ.
\]
Для треугольника ΔDEF:
\[
\angle D = 180^\circ — \angle E — \angle F = 180^\circ — (106^\circ + 40^\circ) = 34^\circ.
\]
Таким образом, углы треугольников:
\[
\angle A = 106^\circ, \quad \angle B = 34^\circ, \quad \angle C = 40^\circ,
\]
\[
\angle E = 106^\circ, \quad \angle F = 40^\circ, \quad \angle D = 34^\circ.
\]
2. Проверим пропорциональность сторон треугольников:
Рассчитаем отношение соответствующих сторон:
\[
\frac{AB}{DE} = \frac{5,2}{15,6}.
\]
Выполним деление:
\[
\frac{AB}{DE} = \frac{5,2}{15,6} = \frac{52}{156} = \frac{1}{3}.
\]
\[
\frac{AC}{EF} = \frac{4,4}{13,2}.
\]
Выполним деление:
\[
\frac{AC}{EF} = \frac{4,4}{13,2} = \frac{44}{132} = \frac{1}{3}.
\]
\[
\frac{BC}{DF} = \frac{7,6}{22,8}.
\]
Выполним деление:
\[
\frac{BC}{DF} = \frac{7,6}{22,8} = \frac{76}{228} = \frac{1}{3}.
\]
Таким образом, отношения всех соответствующих сторон равны:
\[
\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{EF} = \frac{BC}{DF} = \frac{1}{3}.
\]
3. Проверим равенство углов треугольников:
\[
\angle A = \angle E = 106^\circ, \quad \angle B = \angle D = 34^\circ, \quad \angle C = \angle F = 40^\circ.
\]
4. По определению подобия треугольников, если два треугольника имеют равные углы и пропорциональные стороны, то такие треугольники подобны.
Следовательно:
\[
\Delta ABC \sim \Delta DEF.
\]
Задача доказана.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.