Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 539 Атанасян — Подробные Ответы
В треугольник \( MNK \) вписан ромб \( MDEF \) так, что вершины \( D, \, E \, \text{и} \, F \) лежат соответственно на сторонах \( MN, \, NK \, \text{и} \, MK \). Найдите отрезки \( NE \) и \( EK \), если \( MN = 7 \, \text{см}, \, NK = 6 \, \text{см}, \, MK = 5 \, \text{см} \).
Дано: \( \triangle AMKN \), \( MFED \) — ромб, \( FE \in MK \), \( E \in KN \), \( D \in MN \), \( MN = 7 \, \text{см} \), \( NK = 6 \, \text{см} \), \( MK = 5 \, \text{см} \). Найти: \( NE \) и \( EK \).
Решение:
1. \( ME \) — диагональ ромба \( MFED \), следовательно, \( ME \) является биссектрисой. Значит, \( \angle FME = \angle EMD \), и по свойству биссектрисы:
\[
\frac{KE}{NE} = \frac{MK}{MN}.
\]
2. Подставим известные значения: \( MK = 5 \, \text{см} \), \( MN = 7 \, \text{см} \):
\[
\frac{KE}{NE} = \frac{5}{7}.
\]
3. Пусть \( NE = 6 — KE \) (так как \( NK = 6 \, \text{см} \)). Подставим это в пропорцию:
\[
\frac{KE}{6 — KE} = \frac{5}{7}.
\]
4. Преобразуем пропорцию:
\[
7 \cdot KE = 5 \cdot (6 — KE).
\]
5. Раскроем скобки:
\[
7 \cdot KE = 30 — 5 \cdot KE.
\]
6. Перенесем \( KE \) в одну часть уравнения:
\[
7 \cdot KE + 5 \cdot KE = 30.
\]
7. Сложим коэффициенты:
\[
12 \cdot KE = 30.
\]
8. Найдем \( KE \):
\[
KE = \frac{30}{12} = 2,5 \, \text{см}.
\]
9. Найдем \( NE \), используя \( NE = 6 — KE \):
\[
NE = 6 — 2,5 = 3,5 \, \text{см}.
\]
Ответ: \( NE = 3,5 \, \text{см}, EK = 2,5 \, \text{см} \).
Дано: \( \triangle AMKN \), \( MFED \) — ромб, \( FE \in MK \), \( E \in KN \), \( D \in MN \), \( MN = 7 \, \text{см} \), \( NK = 6 \, \text{см} \), \( MK = 5 \, \text{см} \). Найти: \( NE \) и \( EK \).
Решение:
1. Рассмотрим ромб \( MFED \). Его диагональ \( ME \) является биссектрисой углов \( \angle FMK \) и \( \angle EMN \) по свойству ромба. Следовательно, \( \angle FME = \angle EMD \).
2. Так как \( ME \) — биссектриса, то отрезки \( KE \) и \( NE \) на стороне \( KN \) делятся в отношении, равном отношению сторон \( MK \) и \( MN \):
\[
\frac{KE}{NE} = \frac{MK}{MN}.
\]
3. Подставим известные значения: \( MK = 5 \, \text{см} \), \( MN = 7 \, \text{см} \):
\[
\frac{KE}{NE} = \frac{5}{7}.
\]
4. Выразим \( NE \) через \( KE \). Поскольку \( NK = KE + NE = 6 \, \text{см} \), то:
\[
NE = 6 — KE.
\]
5. Подставим \( NE = 6 — KE \) в пропорцию:
\[
\frac{KE}{6 — KE} = \frac{5}{7}.
\]
6. Применим свойства пропорции и умножим крест-накрест:
\[
7 \cdot KE = 5 \cdot (6 — KE).
\]
7. Раскроем скобки в правой части:
\[
7 \cdot KE = 30 — 5 \cdot KE.
\]
8. Перенесем все слагаемые с \( KE \) в одну часть уравнения:
\[
7 \cdot KE + 5 \cdot KE = 30.
\]
9. Сложим коэффициенты:
\[
12 \cdot KE = 30.
\]
10. Найдем \( KE \), разделив обе части уравнения на 12:
\[
KE = \frac{30}{12} = 2 \frac{1}{2} \, \text{см}.
\]
11. Теперь найдем \( NE \), используя \( NE = 6 — KE \):
\[
NE = 6 — 2 \frac{1}{2} = 3 \frac{1}{2} \, \text{см}.
\]
Проверка: сумма \( KE + NE \) должна быть равна \( NK \):
\[
KE + NE = 2 \frac{1}{2} + 3 \frac{1}{2} = 6 \, \text{см}.
\]
Условие выполняется.
Ответ: \( NE = 3 \frac{1}{2} \, \text{см}, EK = 2 \frac{1}{2} \, \text{см} \).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.