Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 537 Атанасян — Подробные Ответы
Отрезок \( AD \) является биссектрисой треугольника \( ABC \). Найдите \( BD \) и \( DC \), если \( AB = 14 \, \text{см}, \, BC = 20 \, \text{см}, \, AC = 21 \, \text{см} \).
Дано:
\(\triangle ABC\), \(AB = 14 \, \text{см}\), \(BC = 20 \, \text{см}\), \(AC = 21 \, \text{см}\), \(\angle BAD = \angle DAC\).
Найти: \(BD\) и \(DC\).
Решение:
1. Высота \(AH\) является общей для треугольников \(\triangle ABD\) и \(\triangle ACD\).
Отношение площадей:
\[
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{BD}{DC}.
\]
Так как \(\angle BAD = \angle DAC\), то:
\[
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB \cdot AD}{AC \cdot AD} = \frac{AB}{AC}.
\]
Следовательно:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}.
\]
2. Пусть \(BD = x\), тогда \(DC = BC — x = 20 — x\).
Запишем пропорцию:
\[
\frac{x}{20 — x} = \frac{14}{21}.
\]
3. Упростим пропорцию:
\[
\frac{x}{20 — x} = \frac{2}{3}.
\]
Перемножим крест-накрест:
\[
3x = 2(20 — x).
\]
Раскроем скобки:
\[
3x = 40 — 2x.
\]
Сложим \(3x + 2x\):
\[
5x = 40.
\]
Найдем \(x\):
\[
x = 8 \, \text{см}.
\]
4. Найдем \(DC\):
\[
DC = 20 — x = 20 — 8 = 12 \, \text{см}.
\]
Ответ:
\(BD = 8 \, \text{см}, DC = 12 \, \text{см}\).
Дано: треугольник \(\triangle ABC\), в котором \(AB = 14 \, \text{см}\), \(BC = 20 \, \text{см}\), \(AC = 21 \, \text{см}\), \(\angle BAD = \angle DAC\), то есть биссектриса \(AD\) делит треугольник на два подобных треугольника \(\triangle ABD\) и \(\triangle ACD\). Требуется найти длины отрезков \(BD\) и \(DC\).
Решение:
1. Высота \(AH\) является общей для треугольников \(\triangle ABD\) и \(\triangle ACD\). Отношение площадей этих треугольников можно выразить через длины оснований \(BD\) и \(DC\), так как высота \(AH\) одинакова для обоих треугольников:
\[
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{BD}{DC}.
\]
2. Учитывая, что \(\angle BAD = \angle DAC\), треугольники \(\triangle ABD\) и \(\triangle ACD\) подобны. Следовательно, отношение их площадей также равно отношению произведений сторон:
\[
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB \cdot AD}{AC \cdot AD} = \frac{AB}{AC}.
\]
Отсюда:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}.
\]
3. Подставим известные значения: \(AB = 14 \, \text{см}\), \(AC = 21 \, \text{см}\). Тогда:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{14}{21}.
\]
Упростим дробь:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{2}{3}.
\]
4. Пусть \(BD = x\), тогда \(DC = BC — x = 20 — x\). Запишем пропорцию:
\[
\frac{x}{20 — x} = \frac{2}{3}.
\]
5. Перемножим крест-накрест:
\[
3x = 2(20 — x).
\]
Раскроем скобки:
\[
3x = 40 — 2x.
\]
Сложим \(3x + 2x\):
\[
5x = 40.
\]
Найдем \(x\):
\[
x = \frac{40}{5} = 8 \, \text{см}.
\]
6. Найдем \(DC\):
\[
DC = 20 — x = 20 — 8 = 12 \, \text{см}.
\]
Ответ: BD = 8 см, DC = 12 см.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.