ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 537 Атанасян — Подробные Ответы

Отрезок \( AD \) является биссектрисой треугольника \( ABC \). Найдите \( BD \) и \( DC \), если \( AB = 14 \, \text{см}, \, BC = 20 \, \text{см}, \, AC = 21 \, \text{см} \).

Дано:
\(\triangle ABC\), \(AB = 14 \, \text{см}\), \(BC = 20 \, \text{см}\), \(AC = 21 \, \text{см}\), \(\angle BAD = \angle DAC\).
Найти: \(BD\) и \(DC\).

Решение:
1. Высота \(AH\) является общей для треугольников \(\triangle ABD\) и \(\triangle ACD\).
Отношение площадей:
\(
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{BD}{DC}.
\)
Так как \(\angle BAD = \angle DAC\), то:
\(
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB \cdot AD}{AC \cdot AD} = \frac{AB}{AC}.
\)
Следовательно:
\(
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}.
\)

2. Пусть \(BD = x\), тогда \(DC = BC — x = 20 — x\).
Запишем пропорцию:
\(
\frac{x}{20 — x} = \frac{14}{21}.
\)

3. Упростим пропорцию:
\(
\frac{x}{20 — x} = \frac{2}{3}.
\)
Перемножим крест-накрест:
\(
3x = 2(20 — x).
\)
Раскроем скобки:
\(
3x = 40 — 2x.
\)
Сложим \(3x + 2x\):
\(
5x = 40.
\)
Найдем \(x\):
\(
x = 8 \, \text{см}.
\)

4. Найдем \(DC\):
\(
DC = 20 — x = 20 — 8 = 12 \, \text{см}.
\)

Ответ:
\(BD = 8 \, \text{см}, DC = 12 \, \text{см}\).

Дано: треугольник \(\triangle ABC\), в котором \(AB = 14 \, \text{см}\), \(BC = 20 \, \text{см}\), \(AC = 21 \, \text{см}\), \(\angle BAD = \angle DAC\), то есть биссектриса \(AD\) делит треугольник на два подобных треугольника \(\triangle ABD\) и \(\triangle ACD\). Требуется найти длины отрезков \(BD\) и \(DC\).

Решение:

1. Высота \(AH\) является общей для треугольников \(\triangle ABD\) и \(\triangle ACD\). Отношение площадей этих треугольников можно выразить через длины оснований \(BD\) и \(DC\), так как высота \(AH\) одинакова для обоих треугольников:
\(
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{BD}{DC}.
\)

2. Учитывая, что \(\angle BAD = \angle DAC\), треугольники \(\triangle ABD\) и \(\triangle ACD\) подобны. Следовательно, отношение их площадей также равно отношению произведений сторон:
\(
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB \cdot AD}{AC \cdot AD} = \frac{AB}{AC}.
\)

Отсюда:
\(
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}.
\)

3. Подставим известные значения: \(AB = 14 \, \text{см}\), \(AC = 21 \, \text{см}\). Тогда:
\(
\frac{BD}{DC} = \frac{14}{21}.
\)

Упростим дробь:
\(
\frac{BD}{DC} = \frac{2}{3}.
\)

4. Пусть \(BD = x\), тогда \(DC = BC — x = 20 — x\). Запишем пропорцию:
\(
\frac{x}{20 — x} = \frac{2}{3}.
\)

5. Перемножим крест-накрест:
\(
3x = 2(20 — x).
\)

Раскроем скобки:
\(
3x = 40 — 2x.
\)

Сложим \(3x + 2x\):
\(
5x = 40.
\)

Найдем \(x\):
\(
x = \frac{40}{5} = 8 \, \text{см}.
\)

6. Найдем \(DC\):
\(
DC = 20 — x = 20 — 8 = 12 \, \text{см}.
\)

Ответ: BD = 8 см, DC = 12 см.