Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 535 Атанасян — Подробные Ответы
Пусть \( \triangle ABC \) — произвольный треугольник, \( AD \) — биссектриса, проведенная из вершины \( A \) к стороне \( BC \). Требуется доказать, что:
\[
\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}.
\]
Рассмотрим треугольники \( \triangle ABD \) и \( \triangle ACD \). Эти треугольники имеют общую высоту \( AH \), опущенную из вершины \( A \) на сторону \( BC \). Площади треугольников выражаются следующим образом:
\[
S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AH, \quad S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot AH.
\]
Отношение площадей:
\[
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{BD}{CD}.
\]
Поскольку \( AD \) — биссектриса, углы \( \angle BAD \) и \( \angle CAD \) равны. Следовательно, треугольники \( \triangle ABD \) и \( \triangle ACD \) подобны, и отношение их площадей также равно отношению прилежащих сторон:
\[
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB}{AC}.
\]
Из двух равенств для отношения площадей получаем:
\[
\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}.
\]
Доказано.
Пусть \( \triangle ABC \) — произвольный треугольник, \( AD \) — биссектриса, проведенная из вершины \( A \) к стороне \( BC \). Требуется доказать, что:
\[
\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}.
\]
Рассмотрим треугольники \( \triangle ABD \) и \( \triangle ACD \). Эти треугольники имеют общую высоту \( AH \), опущенную из вершины \( A \) на сторону \( BC \). Площади треугольников выражаются следующим образом:
\[
S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AH, \quad S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot AH.
\]
Отношение площадей:
\[
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{BD}{CD}.
\]
Поскольку \( AD \) — биссектриса, углы \( \angle BAD \) и \( \angle CAD \) равны. Следовательно, треугольники \( \triangle ABD \) и \( \triangle ACD \) подобны, и отношение их площадей также равно отношению прилежащих сторон:
\[
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB}{AC}.
\]
Из двух равенств для отношения площадей получаем:
\[
\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}.
\]
Доказано.
Пусть \( \triangle ABC \) — произвольный треугольник, \( AD \) — биссектриса, проведенная из вершины \( A \) к стороне \( BC \). Требуется доказать, что:
\[
\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}.
\]
Решение:
1. Рассмотрим треугольники \( \triangle ABD \) и \( \triangle ACD \). Эти треугольники имеют общую высоту \( AH \), опущенную из вершины \( A \) на сторону \( BC \). Площади треугольников выражаются следующим образом:
\[
S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AH, \quad S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot AH.
\]
Найдем отношение площадей этих треугольников:
\[
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BD \cdot AH}{\frac{1}{2} \cdot CD \cdot AH} = \frac{BD}{CD}.
\]
2. Поскольку \( AD \) — биссектриса треугольника, то углы \( \angle BAD \) и \( \angle CAD \) равны (\( \angle 1 = \angle 2 \)). Следовательно, треугольники \( \triangle ABD \) и \( \triangle ACD \) подобны по признаку равенства углов.
3. Из подобия треугольников следует, что отношение их площадей равно отношению произведений прилежащих сторон на высоту, проведенную из вершины \( A \):
\[
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB \cdot AD}{AC \cdot AD}.
\]
Так как \( AD \) — общая сторона для обоих треугольников, она сокращается:
\[
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB}{AC}.
\]
4. Объединяя два выражения для отношения площадей (\( \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{BD}{CD} \) и \( \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB}{AC} \)), получаем:
\[
\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}.
\]
Таким образом, доказано, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.