ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 535 Атанасян — Подробные Ответы

Пусть \( \triangle ABC \) — произвольный треугольник, \( AD \) — биссектриса, проведенная из вершины \( A \) к стороне \( BC \). Требуется доказать, что:
\(
\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}.
\)

Рассмотрим треугольники \( \triangle ABD \) и \( \triangle ACD \). Эти треугольники имеют общую высоту \( AH \), опущенную из вершины \( A \) на сторону \( BC \). Площади треугольников выражаются следующим образом:
\(
S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AH, \quad S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot AH.
\)
Отношение площадей:
\(
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{BD}{CD}.
\)

Поскольку \( AD \) — биссектриса, углы \( \angle BAD \) и \( \angle CAD \) равны. Следовательно, треугольники \( \triangle ABD \) и \( \triangle ACD \) подобны, и отношение их площадей также равно отношению прилежащих сторон:
\(
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB}{AC}.
\)

Из двух равенств для отношения площадей получаем:
\(
\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}.
\)
Доказано.

Пусть \( \triangle ABC \) — произвольный треугольник, \( AD \) — биссектриса, проведенная из вершины \( A \) к стороне \( BC \). Требуется доказать, что:
\(
\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}.
\)

Рассмотрим треугольники \( \triangle ABD \) и \( \triangle ACD \). Эти треугольники имеют общую высоту \( AH \), опущенную из вершины \( A \) на сторону \( BC \). Площади треугольников выражаются следующим образом:
\(
S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AH, \quad S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot AH.
\)
Отношение площадей:
\(
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{BD}{CD}.
\)

Поскольку \( AD \) — биссектриса, углы \( \angle BAD \) и \( \angle CAD \) равны. Следовательно, треугольники \( \triangle ABD \) и \( \triangle ACD \) подобны, и отношение их площадей также равно отношению прилежащих сторон:
\(
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB}{AC}.
\)

Из двух равенств для отношения площадей получаем:
\(
\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}.
\)
Доказано.

Пусть \( \triangle ABC \) — произвольный треугольник, \( AD \) — биссектриса, проведенная из вершины \( A \) к стороне \( BC \). Требуется доказать, что:
\(
\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}.
\)

Решение:

1. Рассмотрим треугольники \( \triangle ABD \) и \( \triangle ACD \). Эти треугольники имеют общую высоту \( AH \), опущенную из вершины \( A \) на сторону \( BC \). Площади треугольников выражаются следующим образом:
\(
S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AH, \quad S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot AH.
\)
Найдем отношение площадей этих треугольников:
\(
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BD \cdot AH}{\frac{1}{2} \cdot CD \cdot AH} = \frac{BD}{CD}.
\)

2. Поскольку \( AD \) — биссектриса треугольника, то углы \( \angle BAD \) и \( \angle CAD \) равны (\( \angle 1 = \angle 2 \)). Следовательно, треугольники \( \triangle ABD \) и \( \triangle ACD \) подобны по признаку равенства углов.

3. Из подобия треугольников следует, что отношение их площадей равно отношению произведений прилежащих сторон на высоту, проведенную из вершины \( A \):
\(
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB \cdot AD}{AC \cdot AD}.
\)
Так как \( AD \) — общая сторона для обоих треугольников, она сокращается:
\(
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB}{AC}.
\)

4. Объединяя два выражения для отношения площадей (\( \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{BD}{CD} \) и \( \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB}{AC} \)), получаем:
\(
\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}.
\)

Таким образом, доказано, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника/