Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 532 Атанасян — Подробные Ответы
В треугольнике ABC проведена высота BH. Докажите, что если:
а) угол A острый, то \[BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2AC \cdot AH\];
б) угол A тупой, то \[BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AC \cdot AH\].
Рассмотрим два случая отдельно: угол \(\angle A < 90^\circ\) и угол \(\angle A > 90^\circ\).
Случай 1: \(\angle A < 90^\circ\)
1. Рассмотрим \(\triangle ABH\):
\[
BH^2 = AB^2 — AH^2.
\]
2. Рассмотрим \(\triangle BCH\):
\[
BH^2 = BC^2 — HC^2.
\]
3. Приравняем выражения для \(BH^2\):
\[
AB^2 — AH^2 = BC^2 — HC^2.
\]
4. Выразим \(BC^2\):
\[
BC^2 = AB^2 — AH^2 + HC^2.
\]
5. Учитывая, что \(HC = AC — AH\), подставим:
\[
BC^2 = AB^2 — AH^2 + (AC — AH)^2.
\]
6. Раскрываем скобки:
\[
BC^2 = AB^2 — AH^2 + AC^2 — 2AC \cdot AH + AH^2.
\]
7. Упростим:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2AC \cdot AH.
\]
Случай 2: \(\angle A > 90^\circ\)
1. Рассмотрим \(\triangle ABH\):
\[
BH^2 = AB^2 — AH^2.
\]
2. Рассмотрим \(\triangle BCH\):
\[
BH^2 = BC^2 — HC^2.
\]
3. Приравняем выражения для \(BH^2\):
\[
AB^2 — AH^2 = BC^2 — HC^2.
\]
4. Выразим \(BC^2\):
\[
BC^2 = AB^2 — AH^2 + HC^2.
\]
5. Учитывая, что \(HC = AC + AH\), подставим:
\[
BC^2 = AB^2 — AH^2 + (AC + AH)^2.
\]
6. Раскрываем скобки:
\[
BC^2 = AB^2 — AH^2 + AC^2 + 2AC \cdot AH + AH^2.
\]
7. Упростим:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AC \cdot AH.
\]
Таким образом, оба случая доказаны.
Рассмотрим два случая: угол \(\angle A < 90^\circ\) и угол \(\angle A > 90^\circ\).
Случай 1: \(\angle A < 90^\circ\).
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle ABH\), где \(BH\) — высота, опущенная из вершины \(B\) на сторону \(AC\). Согласно теореме Пифагора:
\[
BH^2 = AB^2 — AH^2.
\]
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle BCH\), где \(BH\) — высота, опущенная из вершины \(B\) на сторону \(AC\). Согласно теореме Пифагора:
\[
BH^2 = BC^2 — HC^2.
\]
3. Приравняем два выражения для \(BH^2\):
\[
AB^2 — AH^2 = BC^2 — HC^2.
\]
4. Выразим \(BC^2\):
\[
BC^2 = AB^2 — AH^2 + HC^2.
\]
5. Учитывая, что \(HC = AC — AH\), подставим значение \(HC\):
\[
BC^2 = AB^2 — AH^2 + (AC — AH)^2.
\]
6. Раскрываем скобки:
\[
BC^2 = AB^2 — AH^2 + AC^2 — 2AC \cdot AH + AH^2.
\]
7. Упростим выражение, сокращая \(AH^2\):
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2AC \cdot AH.
\]
Таким образом, для случая \(\angle A < 90^\circ\) доказано, что:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2AC \cdot AH.
\]
Случай 2: \(\angle A > 90^\circ\).
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle ABH\), где \(BH\) — высота, опущенная из вершины \(B\) на сторону \(AC\). Согласно теореме Пифагора:
\[
BH^2 = AB^2 — AH^2.
\]
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle BCH\), где \(BH\) — высота, опущенная из вершины \(B\) на сторону \(AC\). Согласно теореме Пифагора:
\[
BH^2 = BC^2 — HC^2.
\]
3. Приравняем два выражения для \(BH^2\):
\[
AB^2 — AH^2 = BC^2 — HC^2.
\]
4. Выразим \(BC^2\):
\[
BC^2 = AB^2 — AH^2 + HC^2.
\]
5. Учитывая, что \(HC = AC + AH\), подставим значение \(HC\):
\[
BC^2 = AB^2 — AH^2 + (AC + AH)^2.
\]
6. Раскрываем скобки:
\[
BC^2 = AB^2 — AH^2 + AC^2 + 2AC \cdot AH + AH^2.
\]
7. Упростим выражение, сокращая \(AH^2\):
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AC \cdot AH.
\]
Таким образом, для случая \(\angle A > 90^\circ\) доказано, что:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AC \cdot AH.
\]
Решение завершено для обоих случаев.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.