Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 532 Атанасян — Подробные Ответы
В треугольнике ABC проведена высота BH. Докажите, что если:
а) угол A острый, то \(BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2AC \cdot AH\);
б) угол A тупой, то \(BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AC \cdot AH\).
Рассмотрим два случая отдельно: угол \(\angle A < 90^\circ\) и угол \(\angle A > 90^\circ\).
Случай 1: \(\angle A < 90^\circ\)
1. Рассмотрим \(\triangle ABH\):
\(
BH^2 = AB^2 — AH^2.
\)
2. Рассмотрим \(\triangle BCH\):
\(
BH^2 = BC^2 — HC^2.
\)
3. Приравняем выражения для \(BH^2\):
\(
AB^2 — AH^2 = BC^2 — HC^2.
\)
4. Выразим \(BC^2\):
\(
BC^2 = AB^2 — AH^2 + HC^2.
\)
5. Учитывая, что \(HC = AC — AH\), подставим:
\(
BC^2 = AB^2 — AH^2 + (AC — AH)^2.
\)
6. Раскрываем скобки:
\(
BC^2 = AB^2 — AH^2 + AC^2 — 2AC \cdot AH + AH^2.
\)
7. Упростим:
\(
BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2AC \cdot AH.
\)
Случай 2: \(\angle A > 90^\circ\)
1. Рассмотрим \(\triangle ABH\):
\(
BH^2 = AB^2 — AH^2.
\)
2. Рассмотрим \(\triangle BCH\):
\(
BH^2 = BC^2 — HC^2.
\)
3. Приравняем выражения для \(BH^2\):
\(
AB^2 — AH^2 = BC^2 — HC^2.
\)
4. Выразим \(BC^2\):
\(
BC^2 = AB^2 — AH^2 + HC^2.
\)
5. Учитывая, что \(HC = AC + AH\), подставим:
\(
BC^2 = AB^2 — AH^2 + (AC + AH)^2.
\)
6. Раскрываем скобки:
\(
BC^2 = AB^2 — AH^2 + AC^2 + 2AC \cdot AH + AH^2.
\)
7. Упростим:
\(
BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AC \cdot AH.
\)
Таким образом, оба случая доказаны.
Рассмотрим два случая: угол \(\angle A < 90^\circ\) и угол \(\angle A > 90^\circ\).
Случай 1: \(\angle A < 90^\circ\).
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle ABH\), где \(BH\) — высота, опущенная из вершины \(B\) на сторону \(AC\). Согласно теореме Пифагора:
\(
BH^2 = AB^2 — AH^2.
\)
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle BCH\), где \(BH\) — высота, опущенная из вершины \(B\) на сторону \(AC\). Согласно теореме Пифагора:
\(
BH^2 = BC^2 — HC^2.
\)
3. Приравняем два выражения для \(BH^2\):
\(
AB^2 — AH^2 = BC^2 — HC^2.
\)
4. Выразим \(BC^2\):
\(
BC^2 = AB^2 — AH^2 + HC^2.
\)
5. Учитывая, что \(HC = AC — AH\), подставим значение \(HC\):
\(
BC^2 = AB^2 — AH^2 + (AC — AH)^2.
\)
6. Раскрываем скобки:
\(
BC^2 = AB^2 — AH^2 + AC^2 — 2AC \cdot AH + AH^2.
\)
7. Упростим выражение, сокращая \(AH^2\):
\(
BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2AC \cdot AH.
\)
Таким образом, для случая \(\angle A < 90^\circ\) доказано, что:
\(
BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2AC \cdot AH.
\)
Случай 2: \(\angle A > 90^\circ\).
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle ABH\), где \(BH\) — высота, опущенная из вершины \(B\) на сторону \(AC\). Согласно теореме Пифагора:
\(
BH^2 = AB^2 — AH^2.
\)
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle BCH\), где \(BH\) — высота, опущенная из вершины \(B\) на сторону \(AC\). Согласно теореме Пифагора:
\(
BH^2 = BC^2 — HC^2.
\)
3. Приравняем два выражения для \(BH^2\):
\(
AB^2 — AH^2 = BC^2 — HC^2.
\)
4. Выразим \(BC^2\):
\(
BC^2 = AB^2 — AH^2 + HC^2.
\)
5. Учитывая, что \(HC = AC + AH\), подставим значение \(HC\):
\(
BC^2 = AB^2 — AH^2 + (AC + AH)^2.
\)
6. Раскрываем скобки:
\(
BC^2 = AB^2 — AH^2 + AC^2 + 2AC \cdot AH + AH^2.
\)
7. Упростим выражение, сокращая \(AH^2\):
\(
BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AC \cdot AH.
\)
Таким образом, для случая \(\angle A > 90^\circ\) доказано, что:
\(
BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AC \cdot AH.
\)
Решение завершено для обоих случаев.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.