ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 528 Атанасян — Подробные Ответы

В трапеции ABCD диагонали пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника AOB, если боковая сторона CD трапеции равна 12 см, а расстояние от точки O до прямой CD равно 5 см.  

Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(CD = 12 \, \text{см}\), \(OF = 5 \, \text{см}\), \(BD \parallel AC\).
Требуется найти площадь \(S_{AOB}\).

Решение:

1. Вычислим площадь треугольника \(S_{COD}\):
\[
S_{COD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot OF = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30 \, \text{см}^2.
\]

2. Рассмотрим треугольники \(\triangle ABD\) и \(\triangle ACD\). Площадь треугольника \(\triangle ABD\):
\[
S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH.
\]
Площадь треугольника \(\triangle ACD\):
\[
S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CE.
\]
Так как \(BH = CE\), то \(S_{ABD} = S_{ACD}\).

3. Для площади трапеции \(S_{ABCD}\):
\[
S_{ABD} = S_{ABO} + S_{AOD}, \quad S_{ACD} = S_{COD} + S_{AOD}.
\]
Из равенства \(S_{ABD} = S_{ACD}\) следует:
\[
S_{ABO} = S_{COD}.
\]
Подставим \(S_{COD} = 30 \, \text{см}^2\):
\[
S_{ABO} = 30 \, \text{см}^2.
\]

Ответ: \(S_{AOB} = 30 \, \text{см}^2\).

Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(CD = 12 \, \text{см}\), \(OF = 5 \, \text{см}\), \(BD \parallel AC\). Требуется найти площадь треугольника \(S_{AOB}\).

Решение:

1. Рассмотрим треугольник \(COD\). Его площадь можно найти по формуле площади треугольника:
\[
S_{COD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot OF,
\]
где \(CD = 12 \, \text{см}\) — основание, \(OF = 5 \, \text{см}\) — высота, проведённая к основанию \(CD\). Подставляем значения:
\[
S_{COD} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = \frac{60}{2} = 30 \, \text{см}^2.
\]

2. Теперь рассмотрим свойства трапеции \(ABCD\). Так как \(BD \parallel AC\), трапеция является равнобедренной. Это означает, что высоты, проведённые из точек \(B\) и \(C\) к основанию \(AD\), равны. Обозначим эти высоты как \(h\). Таким образом, площади треугольников \(\triangle ABD\) и \(\triangle ACD\) равны, так как они имеют одинаковую высоту \(h\) и одинаковые основания \(AD\).

3. Площадь трапеции \(ABCD\) можно представить как сумму площадей треугольников:
\[
S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{ACD}.
\]
Так как \(S_{ABD} = S_{ACD}\), получаем:
\[
S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ABD}.
\]

4. Теперь рассмотрим треугольники \(\triangle ABD\) и \(\triangle ACD\) более детально. Площадь треугольника \(\triangle ACD\) можно записать как:
\[
S_{ACD} = S_{COD} + S_{AOD},
\]
где \(S_{COD}\) — уже известная площадь треугольника \(COD\), а \(S_{AOD}\) — площадь треугольника, расположенного внутри трапеции.

Аналогично, площадь треугольника \(\triangle ABD\) можно записать как:
\[
S_{ABD} = S_{ABO} + S_{AOD}.
\]

5. Так как \(S_{ABD} = S_{ACD}\), из равенства их разбиений следует:
\[
S_{ABO} = S_{COD}.
\]

6. Подставляем значение \(S_{COD} = 30 \, \text{см}^2\):
\[
S_{ABO} = 30 \, \text{см}^2.
\]

Ответ: площадь треугольника \(S_{AOB} = 30 \, \text{см}^2\).