Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 526 Атанасян — Подробные Ответы
В ромбе высота, равная \(\frac{4\sqrt{2}}{6}\) см, составляет большей диагонали. Найдите площадь ромба.
Дано:
— Высота ромба \(BH = \frac{4\sqrt{2}}{6}\) см, которая составляет часть большей диагонали \(BD\).
— Требуется найти площадь ромба \(S_{ABCD}\).
1. Найдем сторону ромба \(AC\):
Высота \(BH\) делит сторону ромба \(AC\) на две равные части, следовательно:
\[
\frac{2}{3}AC = \frac{4\sqrt{2}}{6}.
\]
Умножим обе стороны на \(\frac{3}{2}\):
\[
AC = \frac{4\sqrt{2}}{6} \cdot \frac{3}{2} = \sqrt{2}.
\]
—
2. Формула площади ромба:
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:
\[
S_{ABCD} = \frac{1}{2}BD \cdot AC.
\]
Также площадь ромба можно выразить через высоту и сторону:
\[
S_{ABCD} = BH \cdot AD.
\]
—
3. Найдем большую диагональ \(BD\):
Из условия известно, что высота \(BH\) составляет \(\frac{2}{3}\) большей диагонали \(BD\):
\[
\frac{1}{2}BD = \frac{2}{3}AD \Rightarrow BD = \frac{4}{3}AD.
\]
—
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle AOD:\)
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, поэтому:
\[
AD^2 = AO^2 + OD^2.
\]
Подставим значения:
\[
AO = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad OD = \frac{2}{3}AD.
\]
Следовательно:
\[
AD^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}AD\right)^2.
\]
Рассчитаем:
\[
AD^2 = \frac{1}{2} + \frac{4}{9}AD^2.
\]
Приведем к общему знаменателю:
\[
AD^2 — \frac{4}{9}AD^2 = \frac{1}{2}.
\]
\[
\frac{5}{9}AD^2 = \frac{1}{2}.
\]
Найдем \(AD^2\):
\[
AD^2 = \frac{9}{10} \Rightarrow AD = \frac{3}{\sqrt{10}}.
\]
—
5. **Вычислим площадь ромба:**
Используем формулу площади через высоту и сторону:
\[
S_{ABCD} = BH \cdot AD.
\]
Подставим значения:
\[
S_{ABCD} = \frac{4\sqrt{2}}{6} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{10}}.
\]
Упростим выражение:
\[
S_{ABCD} = \frac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{10}}{10} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \, \text{см}^2.
\]
—
Ответ:
Площадь ромба равна \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\) см\(^2\).
Решение:
Дано:
Высота ромба \(BH = \frac{4\sqrt{2}}{6}\) см, которая составляет часть большей диагонали \(BD\).
Требуется найти площадь ромба \(S_{ABCD}\).
1. Найдем сторону ромба \(AC\).
Высота \(BH\) делит сторону ромба \(AC\) на две равные части, следовательно:
\[
\frac{2}{3}AC = \frac{4\sqrt{2}}{6}.
\]
Умножим обе стороны на \(\frac{3}{2}\):
\[
AC = \frac{4\sqrt{2}}{6} \cdot \frac{3}{2} = \sqrt{2}.
\]
Таким образом, сторона ромба \(AC = \sqrt{2}\) см.
2. Формула площади ромба.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:
\[
S_{ABCD} = \frac{1}{2}BD \cdot AC.
\]
Также площадь ромба можно выразить через высоту и сторону:
\[
S_{ABCD} = BH \cdot AD.
\]
3. Найдем большую диагональ \(BD\).
Из условия известно, что высота \(BH\) составляет \(\frac{2}{3}\) большей диагонали \(BD\):
\[
\frac{1}{2}BD = \frac{2}{3}AD \Rightarrow BD = \frac{4}{3}AD.
\]
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(AOD\).
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, поэтому:
\[
AD^2 = AO^2 + OD^2.
\]
Подставим значения:
\[
AO = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad OD = \frac{2}{3}AD.
\]
Следовательно:
\[
AD^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}AD\right)^2.
\]
Рассчитаем:
\[
AD^2 = \frac{1}{2} + \frac{4}{9}AD^2.
\]
Приведем к общему знаменателю:
\[
AD^2 — \frac{4}{9}AD^2 = \frac{1}{2}.
\]
\[
\frac{5}{9}AD^2 = \frac{1}{2}.
\]
Найдем \(AD^2\):
\[
AD^2 = \frac{9}{10}.
\]
Возьмем корень:
\[
AD = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}.
\]
5. Найдем площадь ромба.
Используем формулу площади через высоту и сторону:
\[
S_{ABCD} = BH \cdot AD.
\]
Подставим значения:
\[
S_{ABCD} = \frac{4\sqrt{2}}{6} \cdot \frac{3\sqrt{10}}{10}.
\]
Упростим выражение:
\[
S_{ABCD} = \frac{4 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{10}}{6 \cdot 10} = \frac{12\sqrt{20}}{60}.
\]
Сократим дробь:
\[
S_{ABCD} = \frac{\sqrt{20}}{5}.
\]
Представим корень в упрощенном виде:
\[
\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}.
\]
Следовательно:
\[
S_{ABCD} = \frac{2\sqrt{5}}{5}.
\]
Ответ:
Площадь ромба равна \[
S_{ABCD} = \frac{2\sqrt{5}}{5}.
\] или \(0,894\) см\(^2\) (округлено до тысячных).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.