Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 525 Атанасян — Подробные Ответы
Расстояние от точки M, лежащей внутри треугольника ABC, до прямой AB равно 6 см, а до прямой AC равно 2 см. Найдите расстояние от точки M до прямой BC, если \[AB = 13\] см, \[BC = 14\] см, \[AC = 15\] см.
Дано: треугольник \(ABC\), \(M \in ABC\), \(MH = 6\) см, \(ME = 2\) см, \(AB = 13\) см, \(BC = 14\) см, \(AC = 15\) см.
Найти: \(MF\).
Решение:
1) Площадь треугольника \(ABC\) найдем по формуле Герона:
\[p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21 \text{ см}.\]
\[S_{ABC} = \sqrt{21(21 — 13)(21 — 14)(21 — 15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84 \text{ см}^2.\]
2) Площадь треугольника \(ABM\):
\[S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot MH \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 13 = 39 \text{ см}^2.\]
3) Площадь треугольника \(AMC\):
\[S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot ME \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 15 = 15 \text{ см}^2.\]
4) Площадь треугольника \(BMC\):
\[S_{BMC} = S_{ABC} — S_{ABM} — S_{AMC} = 84 — 39 — 15 = 30 \text{ см}^2.\]
5) Найдем \(MF\):
\[S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot MF \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot MF \cdot 14 = 30.\]
\[7 \cdot MF = 30 \Rightarrow MF = \frac{30}{7} = 4\frac{2}{7} \text{ см}.\]
Ответ: \(4\frac{2}{7}\) см.
Дано: треугольник \(ABC\), точка \(M\) лежит внутри треугольника, \(MH = 6\) см, \(ME = 2\) см, \(AB = 13\) см, \(BC = 14\) см, \(AC = 15\) см.
Найти: длину отрезка \(MF\).
Решение:
1) Найдем площадь треугольника \(ABC\) по формуле Герона. Для этого сначала вычислим полупериметр \(p\):
\[p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21 \text{ см}.\]
Затем подставим значения в формулу Герона:
\[S_{ABC} = \sqrt{p(p — AB)(p — BC)(p — AC)} = \sqrt{21(21 — 13)(21 — 14)(21 — 15)}.\]
Упростим выражение под корнем:
\[S_{ABC} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84 \text{ см}^2.\]
2) Найдем площадь треугольника \(ABM\). Для этого используем формулу площади через высоту \(MH\):
\[S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot MH \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 13 = 39 \text{ см}^2.\]
3) Найдем площадь треугольника \(AMC\). Используем формулу площади через высоту \(ME\):
\[S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot ME \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 15 = 15 \text{ см}^2.\]
4) Найдем площадь треугольника \(BMC\). Для этого вычтем площади треугольников \(ABM\) и \(AMC\) из площади треугольника \(ABC\):
\[S_{BMC} = S_{ABC} — S_{ABM} — S_{AMC} = 84 — 39 — 15 = 30 \text{ см}^2.\]
5) Найдем длину отрезка \(MF\). Для этого используем формулу площади треугольника \(BMC\) через высоту \(MF\):
\[S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot MF \cdot BC.\]
Подставим известные значения:
\[30 = \frac{1}{2} \cdot MF \cdot 14.\]
Упростим уравнение:
\[30 = 7 \cdot MF.\]
Отсюда:
\[MF = \frac{30}{7} = 4\frac{2}{7} \text{ см}.\]
Ответ: \(4\frac{2}{7}\) см.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.