Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 521 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что если диагонали четырёхугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то \[AD^2 + BC^2 = AB^2 + CD^2\].
Дано: \(ABCD\) — четырехугольник; \(AC \perp BD\).
Доказать: \(AD^2 + BC^2 = AB^2 + CD^2\).
Доказательство:
1) \(AC \perp BD\), значит треугольники \(AOB\), \(BOC\), \(COD\), \(DOA\) — прямоугольные.
2) По теореме Пифагора:
\[AD^2 = AO^2 + OD^2,\]
\[BC^2 = BO^2 + OC^2,\]
\[AB^2 = AO^2 + BO^2,\]
\[CD^2 = CO^2 + OD^2.\]
3) Сложим \(AD^2\) и \(BC^2\):
\[AD^2 + BC^2 = AO^2 + OD^2 + BO^2 + OC^2.\]
4) Сгруппируем слагаемые:
\[AD^2 + BC^2 = (AO^2 + BO^2) + (OC^2 + OD^2).\]
5) Подставим \(AB^2\) и \(CD^2\):
\[AD^2 + BC^2 = AB^2 + CD^2.\]
Что и требовалось доказать.
Дано: \(ABCD\) — четырехугольник; \(AC \perp BD\).
Требуется доказать: \(AD^2 + BC^2 = AB^2 + CD^2\).
Доказательство:
1) Поскольку \(AC \perp BD\), то диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются под прямым углом. Обозначим точку пересечения диагоналей как \(O\).
2) Рассмотрим треугольники, образованные диагоналями:
— \(\triangle AOB\) — прямоугольный, так как \(AC \perp BD\).
— \(\triangle BOC\) — прямоугольный, так как \(AC \perp BD\).
— \(\triangle COD\) — прямоугольный, так как \(AC \perp BD\).
— \(\triangle DOA\) — прямоугольный, так как \(AC \perp BD\).
3) Применим теорему Пифагора к каждому из этих треугольников:
— Для \(\triangle AOB\): \(AB^2 = AO^2 + BO^2\).
— Для \(\triangle BOC\): \(BC^2 = BO^2 + CO^2\).
— Для \(\triangle COD\): \(CD^2 = CO^2 + DO^2\).
— Для \(\triangle DOA\): \(AD^2 = AO^2 + DO^2\).
4) Сложим равенства для \(AD^2\) и \(BC^2\):
\[AD^2 + BC^2 = (AO^2 + DO^2) + (BO^2 + CO^2).\]
5) Перегруппируем слагаемые:
\[AD^2 + BC^2 = (AO^2 + BO^2) + (CO^2 + DO^2).\]
6) Подставим выражения для \(AB^2\) и \(CD^2\) из п. 3:
\[AD^2 + BC^2 = AB^2 + CD^2.\]
Таким образом, равенство \(AD^2 + BC^2 = AB^2 + CD^2\) доказано.
Дополнительные пояснения:
— В процессе доказательства использовались свойства прямоугольных треугольников и теорема Пифагора.
— Перегруппировка слагаемых позволила связать суммы квадратов сторон четырехугольника через квадраты его диагоналей.
— Данное доказательство является универсальным и применимо к любому четырехугольнику, диагонали которого перпендикулярны.
Ответ: \(AD^2 + BC^2 = AB^2 + CD^2\).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.