ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 519 Атанасян — Подробные Ответы

Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равна \(h\), а диагонали взаимно перпендикулярны. 

Дано: \(ABCD\) — равнобедренная трапеция; \(AC \perp BD\); \(BH = h\).

Решение:
1) Дополнительное построение: \(FD \parallel BF\), следовательно \(HBFD\) — прямоугольник.
2) Перенесем \(AC\) параллельным переносом, получим \(HF\), значит \(AC = HF\).
3) \(\angle A = \angle D\), \(AB = CD\), \(AD\) — общая, следовательно \(\triangle ABD = \triangle ACD\) (по двум сторонам и углу между ними).
4) \(AC = BD\) (как соответствующие элементы в равных фигурах).
5) Рассмотрим \(BHDF\): \(BH \perp HD\), \(DF \perp BF\); \(BD = HF\); \(HF \perp BD\), значит \(BHDF\) — квадрат, следовательно \(S_{BHDF} = h^2\).
6) Площадь трапеции \(S_{ABCD} = S_{BHDF} = h^2\).

Ответ: \(S_{ABCD} = h^2\).

Дано: \(ABCD\) — равнобедренная трапеция; \(AC \perp BD\); \(BH = h\).

Решение:
1) Проведем дополнительные построения. Поскольку \(ABCD\) — равнобедренная трапеция, её боковые стороны \(AB\) и \(CD\) равны, а основания \(AD\) и \(BC\) параллельны. Проведем высоту \(BH\) из вершины \(B\) на основание \(AD\). По условию, \(BH = h\).

2) Построим прямую \(FD\), параллельную \(BF\). Так как \(BF\) является диагональю трапеции, а \(FD\) параллельна \(BF\), то четырехугольник \(HBFD\) будет прямоугольником.

3) Перенесем диагональ \(AC\) параллельным переносом так, чтобы она совпала с отрезком \(HF\). Это возможно, так как \(AC\) и \(HF\) равны по длине и параллельны. Следовательно, \(AC = HF\).

4) Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(ACD\). У них:
— \(\angle A = \angle D\) (по свойству равнобедренной трапеции),
— \(AB = CD\) (по определению равнобедренной трапеции),
— сторона \(AD\) общая.
Следовательно, \(\triangle ABD = \triangle ACD\) по двум сторонам и углу между ними.

5) Из равенства треугольников следует, что \(AC = BD\) (как соответствующие элементы равных фигур).

6) Рассмотрим четырехугольник \(BHDF\). У него:
— \(BH \perp HD\) (так как \(BH\) — высота),
— \(DF \perp BF\) (по построению),
— \(BD = HF\) (из п. 3),
— \(HF \perp BD\) (по условию задачи).
Таким образом, \(BHDF\) — квадрат, и его площадь равна \(S_{BHDF} = h^2\).

7) Площадь трапеции \(ABCD\) равна площади квадрата \(BHDF\), так как они состоят из одинаковых частей. Следовательно, \(S_{ABCD} = S_{BHDF} = h^2\).

Ответ: \(S_{ABCD} = h^2\).