Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 518 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите площадь равнобедренной трапеции, если:
а) её меньшее основание равно 18 см, высота — 9 см и острый угол равен \[45^\circ\];
б) её основания равны 16 см и 30 см, а диагонали взаимно перпендикулярны.
а)
Дано: \(ABCD\) — равнобедренная трапеция; \(BC = 18\) см; \(BH = 9\) см; \(\angle A = 45^\circ\).
Решение:
1) \(\triangle ABH\) — прямоугольный: \(\angle ABH = 45^\circ\), значит \(\triangle ABH\) — равнобедренный; \(AH = HB = 9\) см.
2) \(ABCD\) — равнобедренная трапеция, значит \(AB = CD\) и \(\angle A = \angle D\).
3) \(\triangle ABH \cong \triangle CFD\) по гипотенузе и острому углу, следовательно \(AH = FD = 9\) см.
4) Основание \(AD = AH + HF + FD = 9 + 18 + 9 = 36\) см.
5) Площадь трапеции \(S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot (BC + AD) \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 54 \cdot 9 = 243\) см².
Ответ: \(243\) см².
б)
Дано: \(ABCD\) — равнобедренная трапеция; \(BC = 16\) см; \(AD = 30\) см; \(AC \perp BD\).
Решение:
1) \(ABCD\) — равнобедренная трапеция, значит \(AB = CD\) и \(\angle A = \angle D\).
2) \(AC \perp BD\), следовательно треугольники \(BOC\) и \(AOD\) — прямоугольные.
3) Пусть \(BO = OC = x\), тогда \(BC^2 = x^2 + x^2\); \(256 = 2x^2\); \(x^2 = 128\); \(x = 8\sqrt{2}\) см.
4) Пусть \(AO = OD = y\), тогда \(AD^2 = y^2 + y^2\); \(900 = 2y^2\); \(y^2 = 450\); \(y = 15\sqrt{2}\) см.
5) Площадь трапеции \(S_{ABCD} = S_{ABO} + S_{COD} + S_{BOC} + S_{AOD}\).
6) \(S_{ABO} = S_{COD} = 8\sqrt{2} \cdot 15\sqrt{2} = 120\) см².
7) \(S_{AOD} = \frac{1}{2} \cdot 15\sqrt{2} \cdot 15\sqrt{2} = 225\) см².
8) \(S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot 8\sqrt{2} = 64\) см².
9) \(S_{ABCD} = 120 + 120 + 225 + 64 = 529\) см².
Ответ: \(529\) см².
а)
Дано: \(ABCD\) — равнобедренная трапеция; \(BC = 18\) см; \(BH = 9\) см; \(\angle A = 45^\circ\).
Решение:
1) Рассмотрим \(\triangle ABH\) — прямоугольный:
\[
\angle ABH = 90^\circ — 45^\circ = 45^\circ, \text{ значит } \triangle ABH \text{ — равнобедренный; } AH = HB = 9 \text{ см}.
\]
2) \(ABCD\) — равнобедренная трапеция, значит \(AB = CD\) и \(\angle A = \angle D\).
3) \(\triangle ABH \cong \triangle CFD\) по гипотенузе и острому углу, следовательно \(AH = FD = 9\) см.
4) Основание \(AD\):
\[
AD = AH + HF + FD = 9 + 18 + 9 = 36 \text{ см}.
\]
5) Площадь трапеции \(ABCD\):
\[
S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot (BC + AD) \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot (18 + 36) \cdot 9 = \frac{1}{2} \cdot 54 \cdot 9 = 243 \text{ см}^2.
\]
Ответ: \(243\) см².
б)
Дано: \(ABCD\) — равнобедренная трапеция; \(BC = 16\) см; \(AD = 30\) см; \(AC \perp BD\).
Решение:
1) \(ABCD\) — равнобедренная трапеция, значит \(AB = CD\) и \(\angle A = \angle D\).
2) \(\triangle ABD \cong \triangle ACD\) по двум сторонам и углу между ними, следовательно \(BD = AC\) и \(\angle ABD = \angle ACD\).
3) \(\triangle ABO \cong \triangle CDO\) по стороне и двум прилежащим углам, значит \(BO = OC\) и \(AO = OD\).
4) Рассмотрим \(\triangle BOC\) — прямоугольный:
\[
BC^2 = BO^2 + OC^2; \quad 16^2 = x^2 + x^2; \quad 256 = 2x^2; \quad x^2 = 128; \quad x = 8\sqrt{2} \text{ см}.
\]
5) Рассмотрим \(\triangle AOD\) — прямоугольный:
\[
AD^2 = AO^2 + OD^2; \quad 30^2 = y^2 + y^2; \quad 900 = 2y^2; \quad y^2 = 450; \quad y = 15\sqrt{2} \text{ см}.
\]
6) Площадь трапеции \(ABCD\):
\[
S_{ABCD} = S_{ABO} + S_{COD} + S_{BOC} + S_{AOD}.
\]
7) Площади треугольников:
\[
S_{ABO} = S_{COD} = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot 15\sqrt{2} = 120 \text{ см}^2;
\]
\[
S_{AOD} = \frac{1}{2} \cdot 15\sqrt{2} \cdot 15\sqrt{2} = 225 \text{ см}^2;
\]
\[
S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot 8\sqrt{2} = 64 \text{ см}^2.
\]
8) Итоговая площадь:
\[
S_{ABCD} = 120 + 120 + 225 + 64 = 529 \text{ см}^2.
\]
Ответ: \(529\) см².
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.