ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 518 Атанасян — Подробные Ответы

Найдите площадь равнобедренной трапеции, если:

а) её меньшее основание равно 18 см, высота — 9 см и острый угол равен \(45^\circ\);

б) её основания равны 16 см и 30 см, а диагонали взаимно перпендикулярны.

а)

Дано: \(ABCD\) — равнобедренная трапеция; \(BC = 18\) см; \(BH = 9\) см; \(\angle A = 45^\circ\).

Решение:
1) \(\triangle ABH\) — прямоугольный: \(\angle ABH = 45^\circ\), значит \(\triangle ABH\) — равнобедренный; \(AH = HB = 9\) см.
2) \(ABCD\) — равнобедренная трапеция, значит \(AB = CD\) и \(\angle A = \angle D\).
3) \(\triangle ABH \cong \triangle CFD\) по гипотенузе и острому углу, следовательно \(AH = FD = 9\) см.
4) Основание \(AD = AH + HF + FD = 9 + 18 + 9 = 36\) см.
5) Площадь трапеции \(S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot (BC + AD) \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 54 \cdot 9 = 243\) см².

Ответ: \(243\) см².

б)

Дано: \(ABCD\) — равнобедренная трапеция; \(BC = 16\) см; \(AD = 30\) см; \(AC \perp BD\).

Решение:
1) \(ABCD\) — равнобедренная трапеция, значит \(AB = CD\) и \(\angle A = \angle D\).
2) \(AC \perp BD\), следовательно треугольники \(BOC\) и \(AOD\) — прямоугольные.
3) Пусть \(BO = OC = x\), тогда \(BC^2 = x^2 + x^2\); \(256 = 2x^2\); \(x^2 = 128\); \(x = 8\sqrt{2}\) см.
4) Пусть \(AO = OD = y\), тогда \(AD^2 = y^2 + y^2\); \(900 = 2y^2\); \(y^2 = 450\); \(y = 15\sqrt{2}\) см.
5) Площадь трапеции \(S_{ABCD} = S_{ABO} + S_{COD} + S_{BOC} + S_{AOD}\).
6) \(S_{ABO} = S_{COD} = 8\sqrt{2} \cdot 15\sqrt{2} = 120\) см².
7) \(S_{AOD} = \frac{1}{2} \cdot 15\sqrt{2} \cdot 15\sqrt{2} = 225\) см².
8) \(S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot 8\sqrt{2} = 64\) см².
9) \(S_{ABCD} = 120 + 120 + 225 + 64 = 529\) см².

Ответ: \(529\) см².

а) Дано: \(ABCD\) — равнобедренная трапеция; \(BC = 18\) см; \(BH = 9\) см; \(\angle A = 45^\circ\).

1) Рассмотрим \(\triangle ABH\) — прямоугольный:
\(\angle ABH = 90^\circ — 45^\circ = 45^\circ,\) значит, \(\triangle ABH\) — равнобедренный, следовательно, \(AH = BH = 9\) см.

2) Поскольку \(ABCD\) — равнобедренная трапеция, \(AB = CD\) и \(\angle A = \angle D\).

3) \(\triangle ABH \cong \triangle CFD\) по гипотенузе и острому углу, следовательно, \(AH = FD = 9\) см.

4) Основание \(AD\):
\(AD = AH + BC + FD = 9 + 18 + 9 = 36\) см.

5) Площадь трапеции \(ABCD\):
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot (BC + AD) \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot (18 + 36) \cdot 9 = \frac{1}{2} \cdot 54 \cdot 9 = 243\) см².

Ответ: \(243\) см².

б) Дано: \(ABCD\) — равнобедренная трапеция; \(BC = 16\) см; \(AD = 30\) см; \(AC \perp BD\).

1) Так как \(ABCD\) — равнобедренная трапеция, то \(AB = CD\) и \(\angle A = \angle D\).

2) Треугольники \(\triangle ABD\) и \(\triangle ACD\) равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, \(BD = AC\) и \(\angle ABD = \angle ACD\).

3) Треугольники \(\triangle ABO\) и \(\triangle CDO\) равны по стороне и двум прилежащим углам, следовательно, \(BO = OC\) и \(AO = OD\).

4) Рассмотрим \(\triangle BOC\) — прямоугольный:
\(BC^2 = BO^2 + OC^2; \quad 16^2 = x^2 + x^2; \quad 256 = 2x^2; \quad x^2 = 128; \quad x = 8\sqrt{2}\) см.

5) Рассмотрим \(\triangle AOD\) — прямоугольный:
\(AD^2 = AO^2 + OD^2; \quad 30^2 = y^2 + y^2; \quad 900 = 2y^2; \quad y^2 = 450; \quad y = 15\sqrt{2}\) см.

6) Площадь трапеции \(ABCD\):
\(S_{ABCD} = S_{ABO} + S_{COD} + S_{BOC} + S_{AOD}.\)

7) Площади треугольников:
\(S_{ABO} = S_{COD} = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot 15\sqrt{2} = 120\) см²;
\(S_{AOD} = \frac{1}{2} \cdot 15\sqrt{2} \cdot 15\sqrt{2} = 225\) см²;
\(S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot 8\sqrt{2} = 64\) см².

8) Итоговая площадь:
\(S_{ABCD} = 120 + 120 + 64 + 225 = 529\) см².

Ответ: \(529\) см².