Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 514 Атанасян — Подробные Ответы
Площадь ромба равна 540 см², а одна из его диагоналей равна 4,5 дм. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба.
Дано: \[ABCD\] — ромб; \[S_{ABCD} = 540\] см²; \[BD = 4{,}5\] дм; \[BD \perp AC\].
Найти: \[OH\] — ?
Решение:
1) Площадь ромба: \[S_{ABCD} = \frac{BD \cdot AC}{2}\]
\[540 = \frac{45 \cdot AC}{2}\]
\[AC = \frac{540 \cdot 2}{45} = 24\] см.
2) По свойству ромба:
\[AO = OC = \frac{AC}{2} = 12\] см;
\[BO = OD = \frac{BD}{2} = 22{,}5\] см.
3) Рассмотрим треугольник \[DOC\]:
\[DC^2 = OD^2 + OC^2\]
\[DC^2 = 22{,}5^2 + 12^2 = 506{,}25 + 144 = 650{,}25\]
\[DC = \sqrt{650{,}25} = 25{,}5\] см.
4) Площадь треугольника \[DOC\]:
\[S_{DOC} = \frac{OC \cdot OD}{2}\]
\[S_{DOC} = \frac{12 \cdot 22{,}5}{2} = 135\] см².
5) Высота \[OH\]:
\[S_{DOC} = \frac{OH \cdot DC}{2}\]
\[135 = \frac{OH \cdot 25{,}5}{2}\]
\[OH = \frac{135 \cdot 2}{25{,}5} = \frac{270}{25{,}5} = 10{,}588\] см.
Ответ: \[OH = 10{,}588\] см или \[OH = 10 \frac{10}{17}\] см.
Дано: \[ABCD\] — ромб; \[S_{ABCD} = 540\] см²; \[BD = 4{,}5\] дм; \[BD \perp AC\].
Найти: \[OH\] — ?
Решение:
1) Переведем длину диагонали \[BD\] в сантиметры:
\[BD = 4{,}5\] дм = \[45\] см.
2) Площадь ромба вычисляется по формуле:
\[S_{ABCD} = \frac{BD \cdot AC}{2}\]
Подставляем известные значения:
\[540 = \frac{45 \cdot AC}{2}\]
Умножаем обе части уравнения на 2:
\[1080 = 45 \cdot AC\]
Находим длину диагонали \[AC\]:
\[AC = \frac{1080}{45} = 24\] см.
3) По свойству ромба диагонали делятся пополам и пересекаются под прямым углом. Поэтому:
\[AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12\] см;
\[BO = OD = \frac{BD}{2} = \frac{45}{2} = 22{,}5\] см.
4) Рассмотрим треугольник \[DOC\], который является прямоугольным, так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом. По теореме Пифагора:
\[DC^2 = OD^2 + OC^2\]
Подставляем значения:
\[DC^2 = 22{,}5^2 + 12^2 = 506{,}25 + 144 = 650{,}25\]
Находим длину стороны \[DC\]:
\[DC = \sqrt{650{,}25} = 25{,}5\] см.
5) Площадь треугольника \[DOC\] можно вычислить по формуле:
\[S_{DOC} = \frac{OC \cdot OD}{2}\]
Подставляем значения:
\[S_{DOC} = \frac{12 \cdot 22{,}5}{2} = \frac{270}{2} = 135\] см².
6) Высота \[OH\] треугольника \[DOC\] опущена на сторону \[DC\]. Площадь треугольника также можно выразить через высоту и сторону:
\[S_{DOC} = \frac{OH \cdot DC}{2}\]
Подставляем известные значения:
\[135 = \frac{OH \cdot 25{,}5}{2}\]
Умножаем обе части уравнения на 2:
\[270 = OH \cdot 25{,}5\]
Находим высоту \[OH\]:
\[OH = \frac{270}{25{,}5} = 10{,}588\] см.
7) Преобразуем десятичную дробь в смешанное число:
\[10{,}588\] см = \[10 \frac{10}{17}\] см.
Ответ: \[OH = 10{,}588\] см или \[OH = 10 \frac{10}{17}\] см.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.