Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 512 Атанасян — Подробные Ответы
Основания трапеции равны а и b. Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции, параллельный основаниям, разделяет трапецию на две равновеликие трапеции. Найдите длину этого отрезка.
Ваше решение верно. Давайте кратко его обобщим:
1. Дано: трапеция \(ABCD\) с основаниями \(BC = a\) и \(AD = b\). Отрезок \(MN\) параллелен основаниям и делит трапецию на две равновеликие трапеции.
2. Обозначим \(MN = x\).
3. Площади трапеций \(S_{AMND}\) и \(S_{MBCN}\) равны.
4. Уравнения для площадей:
— \((b + x)(BH — BF) = (a + x) \cdot BF\)
5. Упростим и решим уравнение:
— \((a — x)(a + b + 2x) = (b + x)(a — b)\)
— \(a^2 — 2x^2 + b^2 = 0\)
6. Решение уравнения:
— \(2x^2 = a^2 + b^2\)
— \(x^2 = \frac{a^2 + b^2}{2}\)
— \(x = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}\)
Ответ: Длина отрезка \(MN\) равна \(\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}\).
1) Обозначим \(MN = x\).
2) Площадь трапеции \(S_{AMND}\) равна площади трапеции \(S_{MBCN}\).
3) Выразим площади через высоты и основания:
\( S_{AMND} = \frac{1}{2} \cdot (b + x) \cdot (BH — BF) \)
\( S_{MBCN} = \frac{1}{2} \cdot (a + x) \cdot BF \)
4) Поскольку площади равны, получаем уравнение:
\( (b + x)(BH — BF) = (a + x) \cdot BF \)
5) Раскроем скобки и упростим:
\( b \cdot BH + x \cdot BH — b \cdot BF — x \cdot BF = a \cdot BF + x \cdot BF \)
\( b \cdot BH + x \cdot BH = a \cdot BF + x \cdot BF + x \cdot BF + b \cdot BF \)
\( (b + x) \cdot BH = (a + b + 2x) \cdot BF \)
6) Выразим \(BH\) через \(BF\):
\( BH = \frac{(a + b + 2x) \cdot BF}{b + x} \)
7) Площадь всей трапеции \(ABCD\) равна сумме площадей \(S_{AMND}\) и \(S_{MBCN}\):
\( S_{ABCD} = S_{AMND} + S_{MBCN} \)
\( \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot (b + x) \cdot (BH — BF) + \frac{1}{2} \cdot (a + x) \cdot BF \)
8) Упростим уравнение:
\( (a + b) \cdot BH = (b + x) \cdot (BH — BF) + (a + x) \cdot BF \)
\( a \cdot BH + b \cdot BH = b \cdot BH — b \cdot BF + x \cdot BH — x \cdot BF + a \cdot BF + x \cdot BF \)
\( a \cdot BH — x \cdot BH = a \cdot BF — b \cdot BF \)
\( (a — x) \cdot BH = (a — b) \cdot BF \)
9) Подставим выражение для \(BH\) из пункта 6:
\( (a — x) \cdot \frac{(a + b + 2x) \cdot BF}{b + x} = (a — b) \cdot BF \)
10) Упростим и решим уравнение:
\( \frac{(a — x)(a + b + 2x)}{b + x} = a — b \)
\( (a — x)(a + b + 2x) = (b + x)(a — b) \)
\( a^2 + ab + 2ax — ax — bx — 2x^2 = ba — b^2 + ax — bx \)
\( a^2 + 2ax — ax — 2x^2 + b^2 — ax = 0 \)
\( a^2 — 2x^2 + b^2 = 0 \)
11) Решим уравнение относительно \(x\):
\( 2x^2 = a^2 + b^2 \)
\( x^2 = \frac{a^2 + b^2}{2} \)
\( x = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \)
Ответ: Длина отрезка \(MN\) равна \(\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}\).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.