ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 512 Атанасян — Подробные Ответы

Основания трапеции равны а и b. Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции, параллельный основаниям, разделяет трапецию на две равновеликие трапеции. Найдите длину этого отрезка.

Ваше решение верно. Давайте кратко его обобщим:

1. Дано: трапеция \(ABCD\) с основаниями \(BC = a\) и \(AD = b\). Отрезок \(MN\) параллелен основаниям и делит трапецию на две равновеликие трапеции.

2. Обозначим \(MN = x\).

3. Площади трапеций \(S_{AMND}\) и \(S_{MBCN}\) равны.

4. Уравнения для площадей:
— \((b + x)(BH — BF) = (a + x) \cdot BF\)

5. Упростим и решим уравнение:
— \((a — x)(a + b + 2x) = (b + x)(a — b)\)
— \(a^2 — 2x^2 + b^2 = 0\)

6. Решение уравнения:
— \(2x^2 = a^2 + b^2\)
— \(x^2 = \frac{a^2 + b^2}{2}\)
— \(x = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}\)

Ответ: Длина отрезка \(MN\) равна \(\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}\).

1) Обозначим \(MN = x\).

2) Площадь трапеции \(S_{AMND}\) равна площади трапеции \(S_{MBCN}\).

3) Выразим площади через высоты и основания:
\( S_{AMND} = \frac{1}{2} \cdot (b + x) \cdot (BH — BF) \)
\( S_{MBCN} = \frac{1}{2} \cdot (a + x) \cdot BF \)

4) Поскольку площади равны, получаем уравнение:
\( (b + x)(BH — BF) = (a + x) \cdot BF \)

5) Раскроем скобки и упростим:
\( b \cdot BH + x \cdot BH — b \cdot BF — x \cdot BF = a \cdot BF + x \cdot BF \)
\( b \cdot BH + x \cdot BH = a \cdot BF + x \cdot BF + x \cdot BF + b \cdot BF \)
\( (b + x) \cdot BH = (a + b + 2x) \cdot BF \)

6) Выразим \(BH\) через \(BF\):
\( BH = \frac{(a + b + 2x) \cdot BF}{b + x} \)

7) Площадь всей трапеции \(ABCD\) равна сумме площадей \(S_{AMND}\) и \(S_{MBCN}\):
\( S_{ABCD} = S_{AMND} + S_{MBCN} \)
\( \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot (b + x) \cdot (BH — BF) + \frac{1}{2} \cdot (a + x) \cdot BF \)

8) Упростим уравнение:
\( (a + b) \cdot BH = (b + x) \cdot (BH — BF) + (a + x) \cdot BF \)
\( a \cdot BH + b \cdot BH = b \cdot BH — b \cdot BF + x \cdot BH — x \cdot BF + a \cdot BF + x \cdot BF \)
\( a \cdot BH — x \cdot BH = a \cdot BF — b \cdot BF \)
\( (a — x) \cdot BH = (a — b) \cdot BF \)

9) Подставим выражение для \(BH\) из пункта 6:
\( (a — x) \cdot \frac{(a + b + 2x) \cdot BF}{b + x} = (a — b) \cdot BF \)

10) Упростим и решим уравнение:
\( \frac{(a — x)(a + b + 2x)}{b + x} = a — b \)
\( (a — x)(a + b + 2x) = (b + x)(a — b) \)
\( a^2 + ab + 2ax — ax — bx — 2x^2 = ba — b^2 + ax — bx \)
\( a^2 + 2ax — ax — 2x^2 + b^2 — ax = 0 \)
\( a^2 — 2x^2 + b^2 = 0 \)

11) Решим уравнение относительно \(x\):
\( 2x^2 = a^2 + b^2 \)
\( x^2 = \frac{a^2 + b^2}{2} \)
\( x = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \)

Ответ: Длина отрезка \(MN\) равна \(\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}\).