Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 511 Атанасян — Подробные Ответы
В трапеции ABCD с боковыми сторонами AB и CD диагонали пересекаются в точке О.
а) Сравните площади треугольников ABD и ACD.
б) Сравните площади треугольников ABO и CDO.
в) Докажите, что выполняется равенство ОА · ОВ = ОС · OD.
Дано: ABCD — трапеция; AC ∩ BD = O. Доказать: OA·OB = OC·OD. Сравнить: а) SABD и SACD; б) SABO и SCDO.
Решение:
а) BH = CF (как высоты): SABD = \[ \frac{1}{2} \cdot BH \cdot AD \]; SACD = \[ \frac{1}{2} \cdot CF \cdot AD \]. Так как BH = CF, то SABD = SACD.
б) SABD = SACD; SABO = SABD − SAOD; SCDO = SACD − SAOD. Следовательно, SABO = SCDO.
1) ∠BOA = ∠COD (как вертикальные);
2) По теореме об отношении площадей треугольников с равными углами: \[ \frac{SBOA}{SCOD} = \frac{BO \cdot OA}{OC \cdot OD} \];
3) Так как SABO = SCDO, то \[ \frac{BO \cdot OA}{OC \cdot OD} = 1 \]. Следовательно, OA·OB = OC·OD, что и требовалось доказать.
Ответ: а) Равны; б) Равны.
Дано: ABCD — трапеция; AC ∩ BD = O. Доказать: OA·OB = OC·OD. Сравнить: а) SABD и SACD; б) SABO и SCDO.
Решение:
а) Рассмотрим высоты BH и CF, опущенные из вершин B и C на основание AD. Поскольку ABCD — трапеция, то BH = CF. Площадь треугольника ABD вычисляется по формуле: SABD = (1/2) · BH · AD. Площадь треугольника ACD вычисляется по формуле: SACD = (1/2) · CF · AD. Так как BH = CF, то SABD = SACD.
б) Поскольку SABD = SACD, вычтем из обеих площадей площадь треугольника AOD: SABO = SABD − SAOD и SCDO = SACD − SAOD. Отсюда следует, что SABO = SCDO.
1) Углы ∠BOA и ∠COD являются вертикальными, следовательно, они равны: ∠BOA = ∠COD.
2) По теореме об отношении площадей треугольников с равными углами: (SBOA)/(SCOD) = (BO · OA)/(OC · OD).
3) Так как SABO = SCDO, то (BO · OA)/(OC · OD) = 1. Отсюда получаем: OA · OB = OC · OD, что и требовалось доказать.
Ответ: а) Площади треугольников ABD и ACD равны; б) Площади треугольников ABO и CDO равны.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.