Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 505 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что из всех треугольников, у которых одна сторона равна а, а другая — b, наибольшую площадь имеет тот, у которого эти стороны перпендикулярны.
Рассмотрим задачу подробно. Даны три треугольника: \[ABC\], \[A_1B_1C_1\] и \[A_2B_2C_2\]. В каждом из них сторона \[a\] является основанием, а высоты, опущенные на эту сторону, обозначены как \[BH\], \[B_1H_1\] и \[b\] соответственно.
В случаях а и б высоты \[BH\] и \[B_1H_1\] меньше стороны \[b\], так как в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого катета. Это следует из теоремы Пифагора: \[b = \sqrt{a^2 + h^2}\], где \[h\] — высота, и очевидно, что \[b > h\].
Площади треугольников вычисляются по формуле: \[S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\]. Таким образом, для каждого треугольника получаем:
- \[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot BH\]
- \[S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot B_1H_1\]
- \[S_{A_2B_2C_2} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]
Поскольку \[BH < b\] и \[B_1H_1 < b\], то площади треугольников \[ABC\] и \[A_1B_1C_1\] будут меньше площади треугольника \[A_2B_2C_2\]. Это можно записать в виде неравенства: \[\frac{1}{2} \cdot a \cdot BH < \frac{1}{2} \cdot a \cdot B_1H_1 < \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\].
Таким образом, площадь треугольника \[A_2B_2C_2\] является наибольшей, что и требовалось доказать. Этот результат подтверждает, что при фиксированном основании площадь треугольника максимальна, когда высота равна длине стороны \[b\], что соответствует случаю в.
Рассмотрим задачу подробно. Даны три треугольника: \[ABC\], \[A_1B_1C_1\] и \[A_2B_2C_2\]. В каждом из них сторона \[a\] является основанием, а высоты, опущенные на эту сторону, обозначены как \[BH\], \[B_1H_1\] и \[b\] соответственно. В случаях а и б высоты \[BH\] и \[B_1H_1\] меньше стороны \[b\], так как в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого катета. Это следует из теоремы Пифагора: \[b = \sqrt{a^2 + h^2}\], где \[h\] — высота, и очевидно, что \[b > h\].
Площади треугольников вычисляются по формуле: \[S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\]. Таким образом, для каждого треугольника получаем: \[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot BH\], \[S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot B_1H_1\], \[S_{A_2B_2C_2} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\].
Поскольку \[BH < b\] и \[B_1H_1 < b\], то площади треугольников \[ABC\] и \[A_1B_1C_1\] будут меньше площади треугольника \[A_2B_2C_2\]. Это можно записать в виде неравенства: \[\frac{1}{2} \cdot a \cdot BH < \frac{1}{2} \cdot a \cdot B_1H_1 < \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\].
Таким образом, площадь треугольника \[A_2B_2C_2\] является наибольшей, что и требовалось доказать. Этот результат подтверждает, что при фиксированном основании площадь треугольника максимальна, когда высота равна длине стороны \[b\], что соответствует случаю в.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.