Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 499 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами, равными:
а) 24 см, 25 см, 7 см;
б) 15 см, 17 см, 8 см.
Для нахождения наименьшей высоты треугольника воспользуемся формулой площади через формулу Герона и свяжем её с высотой.
а) Стороны: 24 см, 25 см, 7 см.
1. Полупериметр: \[ p = \frac{24 + 25 + 7}{2} = 28 \text{ см}. \]
2. Площадь: \[ S = \sqrt{28(28 — 24)(28 — 25)(28 — 7)} = \sqrt{7056} = 84 \text{ см}^2. \]
3. Высоты:
— К стороне 7 см: \[ BH = \frac{84 \cdot 2}{7} = 24 \text{ см}. \]
— К стороне 24 см: \[ CF = \frac{84 \cdot 2}{24} = 7 \text{ см}. \]
— К стороне 25 см: \[ AE = \frac{84 \cdot 2}{25} = 6{,}72 \text{ см}. \]
Наименьшая высота: \[ AE = 6{,}72 \text{ см}. \]
б) Стороны: 15 см, 17 см, 8 см.
1. Полупериметр: \[ p = \frac{15 + 17 + 8}{2} = 20 \text{ см}. \]
2. Площадь: \[ S = \sqrt{20(20 — 15)(20 — 17)(20 — 8)} = \sqrt{3600} = 60 \text{ см}^2. \]
3. Высоты:
— К стороне 8 см: \[ BH = \frac{60 \cdot 2}{8} = 15 \text{ см}. \]
— К стороне 15 см: \[ CF = \frac{60 \cdot 2}{15} = 8 \text{ см}. \]
— К стороне 17 см: \[ AE = \frac{60 \cdot 2}{17} = 7 \frac{1}{17} \text{ см}. \]
Наименьшая высота: \[ AE = 7 \frac{1}{17} \text{ см}. \]
Ответ:
а) \[ AE = 6{,}72 \text{ см}; \]
б) \[ AE = 7 \frac{1}{17} \text{ см}. \]
Для нахождения наименьшей высоты треугольника воспользуемся формулой площади через формулу Герона и свяжем её с высотой.
а) Стороны: 24 см, 25 см, 7 см.
1. Найдем полупериметр треугольника:
\[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{24 + 25 + 7}{2} = \frac{56}{2} = 28 \text{ см}. \]
2. Вычислим площадь треугольника по формуле Герона:
\[ S = \sqrt{p(p — a)(p — b)(p — c)} = \sqrt{28(28 — 24)(28 — 25)(28 — 7)} = \sqrt{28 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 21}. \]
\[ S = \sqrt{28 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 21} = \sqrt{7056} = 84 \text{ см}^2. \]
3. Найдем высоты треугольника:
— Высота к стороне \[ AC = 7 \text{ см}: \]
\[ S = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot AC \Rightarrow 84 = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot 7 \Rightarrow BH = \frac{84 \cdot 2}{7} = 24 \text{ см}. \]
— Высота к стороне \[ AB = 24 \text{ см}: \]
\[ S = \frac{1}{2} \cdot CF \cdot AB \Rightarrow 84 = \frac{1}{2} \cdot CF \cdot 24 \Rightarrow CF = \frac{84 \cdot 2}{24} = 7 \text{ см}. \]
— Высота к стороне \[ BC = 25 \text{ см}: \]
\[ S = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot BC \Rightarrow 84 = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot 25 \Rightarrow AE = \frac{84 \cdot 2}{25} = 6{,}72 \text{ см}. \]
Наименьшая высота: \[ AE = 6{,}72 \text{ см}. \]
б) Стороны: 15 см, 17 см, 8 см.
1. Найдем полупериметр треугольника:
\[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{15 + 17 + 8}{2} = \frac{40}{2} = 20 \text{ см}. \]
2. Вычислим площадь треугольника по формуле Герона:
\[ S = \sqrt{p(p — a)(p — b)(p — c)} = \sqrt{20(20 — 15)(20 — 17)(20 — 8)} = \sqrt{20 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 12}. \]
\[ S = \sqrt{20 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 12} = \sqrt{3600} = 60 \text{ см}^2. \]
3. Найдем высоты треугольника:
— Высота к стороне \[ AC = 8 \text{ см}: \]
\[ S = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot AC \Rightarrow 60 = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot 8 \Rightarrow BH = \frac{60 \cdot 2}{8} = 15 \text{ см}. \]
— Высота к стороне \[ AB = 15 \text{ см}: \]
\[ S = \frac{1}{2} \cdot CF \cdot AB \Rightarrow 60 = \frac{1}{2} \cdot CF \cdot 15 \Rightarrow CF = \frac{60 \cdot 2}{15} = 8 \text{ см}. \]
— Высота к стороне \[ BC = 17 \text{ см}: \]
\[ S = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot BC \Rightarrow 60 = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot 17 \Rightarrow AE = \frac{60 \cdot 2}{17} = 7 \frac{1}{17} \text{ см}. \]
Наименьшая высота: \[ AE = 7 \frac{1}{17} \text{ см}. \]
Ответ:
а) \[ AE = 6{,}72 \text{ см}; \]
б) \[ AE = 7 \frac{1}{17} \text{ см}. \]
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.