ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 497 Атанасян — Подробные Ответы

Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой. Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма равен 50 см, а разность смежных сторон равна 1 см.

Дано: \[ \Delta ABC \]; \[ CD \perp AB \]; \[ AD = BC \]; \[ AB = 3 \]; \[ CD = \sqrt{3} \].

Решение:
1. \[ ABCD \] — параллелограмм: \[ BC = AD \], \[ AB = CD \].
2. \[ AB — AD = 1 \Rightarrow AB = AD + 1 \].
3. Периметр \[ ABCD \]:
\[
P_{ABCD} = 2AB + 2AD = 2(AD + 1) + 2AD = 50 \Rightarrow 4AD = 48 \Rightarrow AD = 12 \text{ см}
\]
4. \[ AB = 12 + 1 = 13 \text{ см} \].
5. В \[ \Delta ABD \]:
\[
BD^2 = AB^2 — AD^2 = 13^2 — 12^2 = 25 \Rightarrow BD = 5 \text{ см}
\]

Ответ: \[ 5 \text{ см} \].

Дано: Параллелограмм \[ ABCD \], одна из диагоналей является его высотой. Периметр параллелограмма равен 50 см, разность смежных сторон равна 1 см.

Решение:
1. Обозначим стороны параллелограмма: \[ AB = CD = a \], \[ BC = AD = b \]. По условию разность смежных сторон равна 1 см: \[ a — b = 1 \Rightarrow a = b + 1 \].
2. Периметр параллелограмма:
\[
P = 2a + 2b = 50 \Rightarrow 2(b + 1) + 2b = 50
\]
Раскроем скобки:
\[
2b + 2 + 2b = 50 \Rightarrow 4b = 48 \Rightarrow b = 12 \text{ см}
\]
3. Тогда \[ a = b + 1 = 12 + 1 = 13 \text{ см} \].
4. Рассмотрим диагональ \[ BD \], которая является высотой. Это означает, что \[ BD \perp AB \], и \[ \Delta ABD \] — прямоугольный треугольник.
5. В \[ \Delta ABD \] по теореме Пифагора:
\[
BD^2 = AB^2 — AD^2 = 13^2 — 12^2 = 169 — 144 = 25 \Rightarrow BD = 5 \text{ см}
\]
6. Таким образом, диагональ \[ BD \] равна 5 см.

Ответ: \[ 5 \text{ см} \].