Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 495 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями AB и CD, если:
а) AB = 10 см, BC = DA = 13 см, CD = 20 см;
б) ∠C = ∠D = 60°, AB = BC = 8 см;
в) ∠C = ∠D = 45°, AB = 6 см, BC = 9/2 см.
Дано: \(ABCD\) — трапеция; \(AB \parallel CD\); \(AB = 10\) см; \(BC = DA = 13\) см; \(CD = 20\) см.
Решение:
1. Так как \(BC = AD\), трапеция \(ABCD\) является равнобедренной. Следовательно, углы при основаниях равны: \(\angle D = \angle C\).
2. Проведем высоты \(AH\) и \(BF\) из вершин \(A\) и \(B\) на основание \(CD\). Получим прямоугольные треугольники \(\triangle DAH\) и \(\triangle BCF\).
3. В равнобедренной трапеции высоты равны, и они делят большее основание на три части: два равных отрезка по бокам и отрезок, равный меньшему основанию.
4. Найдем длину отрезка \(DH\):
\(
DH = FC = \frac{CD — AB}{2} = \frac{20 — 10}{2} = 5 \text{ см}.
\)
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle BCF\):
По теореме Пифагора:
\(
BF^2 = BC^2 — FC^2 = 13^2 — 5^2 = 169 — 25 = 144.
\)
\(
BF = \sqrt{144} = 12 \text{ см}.
\)
6. Площадь трапеции \(ABCD\) вычисляется по формуле:
\(
S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot BF = \frac{1}{2} \cdot (10 + 20) \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 12 = 180 \text{ см}^2.
\)
Ответ: площадь трапеции \(S_{ABCD} = 180\) см².
Дано: \(ABCD\) — трапеция; \(AB \parallel CD\); \(\angle C = \angle D = 60^\circ\); \(AB = BC = 8\) см.
Решение:
1. Так как \(\angle D = \angle C\), трапеция \(ABCD\) является равнобедренной. Следовательно, \(AD = BC = 8\) см.
2. Проведем высоты \(AH\) и \(BF\) из вершин \(A\) и \(B\) на основание \(CD\). Получим прямоугольные треугольники \(\triangle DAH\) и \(\triangle BCF\).
3. В равнобедренной трапеции высоты равны, и они делят большее основание на три части: два равных отрезка по бокам и отрезок, равный меньшему основанию.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle DAH\):
Угол \(\angle DAH = 90^\circ — 60^\circ = 30^\circ\).
В прямоугольном треугольнике с углом \(30^\circ\) катет, лежащий напротив угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы:
\(
DH = \frac{1}{2} \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \text{ см}.
\)
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle BCF\):
Угол \(\angle BCF = 90^\circ — 60^\circ = 30^\circ\).
Аналогично:
\(
FC = \frac{1}{2} \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \text{ см}.
\)
6. Найдем длину основания \(CD\):
\(
CD = DH + HF + FC = 4 + 8 + 4 = 16 \text{ см}.
\)
7. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle DAH\):
По теореме Пифагора:
\(
AH^2 = DA^2 — DH^2 = 8^2 — 4^2 = 64 — 16 = 48.
\)
\(
AH = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ см}.
\)
8. Площадь трапеции \(ABCD\) вычисляется по формуле:
\(
S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot (8 + 16) \cdot 4\sqrt{3} =\)
\(=\frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3} \text{ см}^2.
\)
Ответ: площадь трапеции \(S_{ABCD} = 48\sqrt{3}\) см².
Дано: \(ABCD\) — трапеция; \(AB \parallel CD\); \(\angle C = \angle D = 45^\circ\); \(AB = 6\) см; \(BC = 9\sqrt{2}\) см.
Решение:
1. Так как \(\angle D = \angle C\), трапеция \(ABCD\) является равнобедренной. Следовательно, \(AD = BC = 9\sqrt{2}\) см.
2. Проведем высоты \(AH\) и \(BF\) из вершин \(A\) и \(B\) на основание \(CD\). Получим прямоугольные треугольники \(\triangle DAH\) и \(\triangle BCF\).
3. В равнобедренной трапеции высоты равны, и они делят большее основание на три части: два равных отрезка по бокам и отрезок, равный меньшему основанию.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle DAH\):
Угол \(\angle DAH = 90^\circ — 45^\circ = 45^\circ\).
В прямоугольном треугольнике с углом \(45^\circ\) катеты равны:
\(
AH = DH.
\)
По теореме Пифагора:
\(
AD^2 = AH^2 + DH^2 = 2AH^2.
\)
\(
(9\sqrt{2})^2 = 2AH^2.
\)
\(
162 = 2AH^2.
\)
\(
AH^2 = 81.
\)
\(
AH = 9 \text{ см}.
\)
5. Найдем длину основания \(CD\):
\(
CD = DH + HF + FC = 9 + 6 + 9 = 24 \text{ см}.
\)
6. Площадь трапеции \(ABCD\) вычисляется по формуле:
\(
S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot (6 + 24) \cdot 9 = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 9 = 135 \text{ см}^2.
\)
Ответ: площадь трапеции \(S_{ABCD} = 135\) см².
Итоговые ответы:
а) \(S_{ABCD} = 180\) см²;
б) \(S_{ABCD} = 48\sqrt{3}\) см²;
в) \(S_{ABCD} = 135\) см².
Дано: \(ABCD\) — трапеция; \(AB \parallel CD\); \(AB = 10\) см; \(BC = DA = 13\) см; \(CD = 20\) см.
Решение:
1. Так как \(BC = AD\), трапеция \(ABCD\) является равнобедренной. Следовательно, углы при основаниях равны: \(\angle D = \angle C\).
2. Проведем высоты \(AH\) и \(BF\) из вершин \(A\) и \(B\) на основание \(CD\). Получим прямоугольные треугольники \(\triangle DAH\) и \(\triangle BCF\).
3. В равнобедренной трапеции высоты равны, и они делят большее основание на три части: два равных отрезка по бокам и отрезок, равный меньшему основанию.
4. Найдем длину отрезка \(DH\):
\(
DH = FC = \frac{CD — AB}{2} = \frac{20 — 10}{2} = 5 \text{ см}.
\)
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle BCF\):
По теореме Пифагора:
\(
BF^2 = BC^2 — FC^2 = 13^2 — 5^2 = 169 — 25 = 144.
\)
\(
BF = \sqrt{144} = 12 \text{ см}.
\)
6. Площадь трапеции \(ABCD\) вычисляется по формуле:
\(
S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot BF = \frac{1}{2} \cdot (10 + 20) \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 12 = 180 \text{ см}^2.
\)
Ответ: площадь трапеции \(S_{ABCD} = 180\) см².
Дано: \(ABCD\) — трапеция; \(AB \parallel CD\); \(\angle C = \angle D = 60^\circ\); \(AB = BC = 8\) см.
Решение:
1. Так как \(\angle D = \angle C\), трапеция \(ABCD\) является равнобедренной. Следовательно, \(AD = BC = 8\) см.
2. Проведем высоты \(AH\) и \(BF\) из вершин \(A\) и \(B\) на основание \(CD\). Получим прямоугольные треугольники \(\triangle DAH\) и \(\triangle BCF\).
3. В равнобедренной трапеции высоты равны, и они делят большее основание на три части: два равных отрезка по бокам и отрезок, равный меньшему основанию.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle DAH\):
Угол \(\angle DAH = 90^\circ — 60^\circ = 30^\circ\).
В прямоугольном треугольнике с углом \(30^\circ\) катет, лежащий напротив угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы:
\(
DH = \frac{1}{2} \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \text{ см}.
\)
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle BCF\):
Угол \(\angle BCF = 90^\circ — 60^\circ = 30^\circ\).
Аналогично:
\(
FC = \frac{1}{2} \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \text{ см}.
\)
6. Найдем длину основания \(CD\):
\(
CD = DH + HF + FC = 4 + 8 + 4 = 16 \text{ см}.
\)
7. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle DAH\):
По теореме Пифагора:
\(
AH^2 = DA^2 — DH^2 = 8^2 — 4^2 = 64 — 16 = 48.
\)
\(
AH = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ см}.
\)
8. Площадь трапеции \(ABCD\) вычисляется по формуле:
\(
S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot (8 + 16) \cdot 4\sqrt{3} =\)
\(= \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3} \text{ см}^2.
\)
Ответ: площадь трапеции \(S_{ABCD} = 48\sqrt{3}\) см².
Дано: \(ABCD\) — трапеция; \(AB \parallel CD\); \(\angle C = \angle D = 45^\circ\); \(AB = 6\) см; \(BC = 9\sqrt{2}\) см.
Решение:
1. Так как \(\angle D = \angle C\), трапеция \(ABCD\) является равнобедренной. Следовательно, \(AD = BC = 9\sqrt{2}\) см.
2. Проведем высоты \(AH\) и \(BF\) из вершин \(A\) и \(B\) на основание \(CD\). Получим прямоугольные треугольники \(\triangle DAH\) и \(\triangle BCF\).
3. В равнобедренной трапеции высоты равны, и они делят большее основание на три части: два равных отрезка по бокам и отрезок, равный меньшему основанию.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle DAH\):
Угол \(\angle DAH = 90^\circ — 45^\circ = 45^\circ\).
В прямоугольном треугольнике с углом \(45^\circ\) катеты равны:
\(
AH = DH.
\)
По теореме Пифагора:
\(
AD^2 = AH^2 + DH^2 = 2AH^2.
\)
\(
(9\sqrt{2})^2 = 2AH^2.
\)
\(
162 = 2AH^2.
\)
\(
AH^2 = 81.
\)
\(
AH = 9 \text{ см}.
\)
5. Найдем длину основания \(CD\):
\(
CD = DH + HF + FC = 9 + 6 + 9 = 24 \text{ см}.
\)
6. Площадь трапеции \(ABCD\) вычисляется по формуле:
\(
S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot (6 + 24) \cdot 9 = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 9 = 135 \text{ см}^2.
\)
Ответ: площадь трапеции \(S_{ABCD} = 135\) см².
Итоговые ответы:
а) \(S_{ABCD} = 180\) см²;
б) \(S_{ABCD} = 48\sqrt{3}\) см²;
в) \(S_{ABCD} = 135\) см².
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.