ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 494 Атанасян — Подробные Ответы

Найдите диагональ и площадь ромба, если его сторона равна 10 см, а другая диагональ — 12 см.

Дано: \(ABCD\) — ромб; \(AB = 10\) см; \(AC = 12\) см. Найти: площадь \(S_{ABCD}\) и длину диагонали \(DB\).

Решение:
1. По свойству ромба диагонали делятся пополам:
\[AO = OC = \frac{AC}{2} = 6\] см.

2. Треугольник \(AOB\) — прямоугольный. По теореме Пифагора:
\[OB^2 = AB^2 — AO^2 = 10^2 — 6^2 = 64.\]
\[OB = 8\] см.

3. Длина диагонали \(DB\):
\[DB = OB \cdot 2 = 16\] см.

4. Площадь ромба:
\[S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DB = 96\] см².

Ответ: \(S_{ABCD} = 96\) см²; \(DB = 16\) см.

Дано: \(ABCD\) — ромб; \(AB = 10\) см; \(AC = 12\) см. Найти: площадь \(S_{ABCD}\) и длину диагонали \(DB\).

Решение:
1. По свойству ромба диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Следовательно, точка пересечения диагоналей \(O\) делит диагональ \(AC\) на две равные части:
\[AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6\] см.

2. Рассмотрим треугольник \(AOB\). Он прямоугольный, так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом. По теореме Пифагора найдем длину отрезка \(OB\):
\[OB^2 = AB^2 — AO^2 = 10^2 — 6^2 = 100 — 36 = 64.\]
\[OB = \sqrt{64} = 8\] см.

3. Длина диагонали \(DB\) равна удвоенной длине отрезка \(OB\):
\[DB = OB \cdot 2 = 8 \cdot 2 = 16\] см.

4. Площадь ромба можно вычислить по формуле через диагонали:
\[S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DB = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96\] см².

Ответ: площадь ромба \(S_{ABCD} = 96\) см²; длина диагонали \(DB = 16\) см.