ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 488 Атанасян — Подробные Ответы

Найдите:

а) высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см;

б) сторону равностороннего треугольника, если его высота равна 4 см.

Дано: ΔABC — равносторонний треугольник, AB = BC = AC.
а) AB = BC = AC = 6 см;
б) BB₁ = 4 см.

Найти:
а) BB₁ — ?
б) AB — ?

Решение:

а) \(AB₁ = B₁C = \left( \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3 \right)\) см. По теореме Пифагора:
\( AB^2 = BB₁^2 + AB₁^2 \)

\( BB₁^2 = AB^2 — AB₁^2 \)

\( BB₁^2 = 6^2 — 3^2 = 36 — 9 = 27 \)

\( BB₁ = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \) см.

б) Пусть \(AB₁ = x\), тогда \(AB = 2x\). По теореме Пифагора:
\( AB^2 = BB₁^2 + AB₁^2 \)

\( (2x)^2 = 4^2 + x^2 \)

\( 4x^2 = 16 + x^2 \)

\( 3x^2 = 16 \)

\( x^2 = \frac{16}{3} \)

\( x = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \) см. Следовательно,

\( AB = 2x = 2 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \) см.

Ответ:
а) \( BB₁ = 3\sqrt{3} \) см;
б) \( AB = \frac{8\sqrt{3}}{3} \) см.

Дано: ΔABC — равносторонний треугольник, AB = BC = AC.
а) AB = BC = AC = 6 см;
б) BB₁ = 4 см.

Найти:
а) BB₁ — ?
б) AB — ?

Решение:
а)
1. Так как \(\Delta ABC\) — равносторонний треугольник, высота \(BB₁\) также является медианой. Следовательно, \(AB₁ = B₁C = \left( \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3 \right)\) см.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABB₁\). По теореме Пифагора: \( AB^2 = BB₁^2 + AB₁^2 \).
3. Выразим \(BB₁\): \( BB₁^2 = AB^2 — AB₁^2 \).
4. Подставим известные значения: \( BB₁^2 = 6^2 — 3^2 = 36 — 9 = 27 \).
5. Найдем \(BB₁\): \( BB₁ = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \) см.

Ответ: \( BB₁ = 3\sqrt{3} \) см.

б)
1. Пусть \(AB₁ = x\), тогда \(AB = 2x\).
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABB₁\). По теореме Пифагора: \( AB^2 = BB₁^2 + AB₁^2 \).
3. Подставим известные значения: \( (2x)^2 = 4^2 + x^2 \).
4. Раскроем скобки: \( 4x^2 = 16 + x^2 \).
5. Перенесем все слагаемые в одну сторону: \( 4x^2 — x^2 = 16 \), \( 3x^2 = 16 \).
6. Найдем \(x^2\): \( x^2 = \frac{16}{3} \).
7. Найдем \(x\): \( x = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \) см.
8. Найдем \(AB\): \( AB = 2x = 2 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \) см.

Ответ: \( AB = \frac{8\sqrt{3}}{3} \) см.

Итоговый ответ:
а) \( BB₁ = 3\sqrt{3} \) см;
б) \( AB = \frac{8\sqrt{3}}{3} \) см.