Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 473 Атанасян — Подробные Ответы
Через вершину C треугольника ABC проведена прямая t, параллельная стороне AB. Докажите, что все треугольники с вершинами на прямой t и основанием AB имеют равные площади.
Дано: треугольник ABC, прямая m, AB || m, точки D и E принадлежат прямой m, CE ⊥ m.
Необходимо доказать, что площади треугольников ABC и ABD равны: S_ABC = S_ABD.
Решение:
1. Выразим площади треугольников ABC и ABD через их основания и высоты:
Площадь треугольника ABC:
\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH, \]
где CH – высота, опущенная из точки C на основание AB.
Площадь треугольника ABD:
\[ S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DE, \]
где DE – высота, опущенная из точки D на основание AB.
2. Из условия AB || m, а точки D и E лежат на прямой m. Также известно, что CH ⊥ AB и DE ⊥ AB. Следовательно, отрезки CH и DE являются перпендикулярами к одной и той же прямой AB.
3. Так как точки C и D лежат на одной прямой CE, перпендикулярной m, то длины отрезков CH и DE равны. Обозначим их через h, то есть CH = DE = h.
4. Подставим равенство CH = DE в формулы для площадей:
\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h, \]
\[ S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h. \]
5. Таким образом, S_ABC = S_ABD.
Вывод: площади треугольников ABC и ABD равны, что и требовалось доказать.
Дано: треугольник ABC, прямая m, AB || m, точки D и E принадлежат прямой m, CE ⊥ m. Необходимо доказать, что площади треугольников ABC и ABD равны.
Решение:
1. Рассмотрим треугольники ABC и ABD. Площадь любого треугольника вычисляется по формуле: площадь равна половине произведения основания на высоту. Для треугольника ABC основанием является сторона AB, а высотой – отрезок CH, перпендикулярный стороне AB. Для треугольника ABD основанием также является сторона AB, а высотой – отрезок DE, перпендикулярный стороне AB.
2. Выразим площади треугольников ABC и ABD через их основания и высоты. Площадь треугольника ABC:
S_ABC = 1/2 * AB * CH.
Площадь треугольника ABD:
S_ABD = 1/2 * AB * DE.
3. Из условия задачи известно, что AB || m, а точки D и E принадлежат прямой m. Также известно, что CH ⊥ AB и DE ⊥ AB. Это означает, что отрезки CH и DE являются перпендикулярами, опущенными на одну и ту же прямую AB.
4. Поскольку точки C и D лежат на одной прямой CE, перпендикулярной m, отрезки CH и DE равны. Обозначим их через h. Тогда CH = DE = h.
5. Подставим это равенство в формулы для площадей треугольников:
S_ABC = 1/2 * AB * h,
S_ABD = 1/2 * AB * h.
6. Таким образом, S_ABC = S_ABD.
Вывод: площади треугольников ABC и ABD равны, что и требовалось доказать.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.