Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 432 Атанасян — Подробные Ответы
Точки М и N — середины сторон AD и ВС параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AN и МС делят диагональ BD на три равные части.
Дано: ABCD — параллелограмм, точки M и N — середины сторон AD и BC. Требуется доказать, что прямые AN и CM делят диагональ BD на три равные части.
Доказательство: так как M и N — середины сторон, то BN = MD. В параллелограмме ABCD стороны AB = CD, углы ∠ABN = ∠CDM, поэтому треугольники ABN и CDM равны. Из равенства треугольников следует, что AN = CM. Так как BC || AD, а N и M — середины, то NC = AM, следовательно, ANCM — параллелограмм. В этом параллелограмме AN || CM и BN = NC, поэтому по теореме Фалеса прямые AN и CM делят диагональ BD на три равные части: BK = KE = ED.
Дано: ABCD — параллелограмм. Точки M и N — середины сторон AD и BC. Прямые AN и CM пересекают диагональ BD в точках K и E соответственно. Требуется доказать, что BK = KE = ED.
Рассмотрим доказательство.
1. Так как точки M и N являются серединами сторон AD и BC, то по свойству середины отрезка имеем равенства BN = MD. Это следует из того, что противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны.
2. В параллелограмме ABCD выполняется равенство сторон AB = CD, а также углы ∠ABN и ∠CDM равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BD. Следовательно, треугольники ABN и CDM равны по двум сторонам и углу между ними.
3. Из равенства треугольников ABN и CDM следует, что AN = CM, так как это соответствующие элементы равных треугольников.
4. Рассмотрим стороны BC и AD. Они параллельны, а точки N и M являются серединами этих сторон. Следовательно, NC = AM. Таким образом, четырехугольник ANCM является параллелограммом, так как его противоположные стороны попарно равны и параллельны.
5. В параллелограмме ANCM прямые AN и CM параллельны, а отрезки BN и NC равны. Следовательно, по теореме Фалеса прямые AN и CM делят диагональ BD на три равные части. Это означает, что BK = KE.
6. Аналогично, так как AN || CM и AM = MD, то по той же теореме Фалеса отрезок KE равен ED.
7. Таким образом, доказано, что диагональ BD делится точками K и E на три равные части: BK = KE = ED.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.