Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
Ключевые особенности учебника:
1. Четкая структура:
Материал разбит на логически связанные разделы, каждый из которых посвящен отдельной теме, что облегчает восприятие и изучение.
2. Понятное изложение:
Доступный язык и стиль подачи материала делают даже сложные темы понятными для школьников.
3. Разнообразие задач:
Учебник содержит большое количество задач разной степени сложности, позволяя каждому ученику выбрать подходящие упражнения и совершенствовать свои навыки.
4. Наглядные иллюстрации:
Схемы и рисунки помогают лучше понять материал и визуализировать геометрические фигуры и их свойства.
5. Примеры из жизни:
Практические задачи, связанные с реальными ситуациями, делают изучение геометрии интересным и полезным.
6. Поддержка для учителей:
Методические рекомендации помогают преподавателям эффективно организовать уроки и использовать материал учебника.
Вывод:
Учебник Атанасяна по геометрии — это универсальный инструмент для изучения предмета, который сочетает понятность, практичность и разнообразие. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе, делая процесс обучения более эффективным и увлекательным.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 428 Атанасян — Подробные Ответы
В параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник.
Дано: ABCD — параллелограмм, AB ≠ AD, BB₁, AA₁, CC₁, DD₁ — биссектрисы. Доказать: NMPS — прямоугольник.
Доказательство:
1) ABCD — параллелограмм, значит ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
2) ∠A + ∠B = 180°, ∠C + ∠D = 180° (односторонние углы при BC || AD).
3) В треугольнике ABN: ∠ABN + ∠BAN = (∠B + ∠A)/2 = 90°, значит ∠BNA = 90°.
4) В треугольнике CPD: ∠PDC + ∠DCP = (∠D + ∠C)/2 = 90°, значит ∠CPD = 90°.
5) ∠MNS = ∠BNA = 90°, ∠MPS = ∠CPD = 90° (вертикальные углы).
6) DD₁ || BB₁ (∠CBB₁ = ∠BB₁A = ∠DDA).
7) AA₁ || CC₁ (∠BAA₁ = ∠DAA₁ = ∠BCC₁).
8) NMPS — параллелограмм с углами 90°, значит NMPS — прямоугольник.
Таким образом, NMPS — прямоугольник.
Дано: ABCD — параллелограмм, AB ≠ AD, BB₁, AA₁, CC₁, DD₁ — биссектрисы. Доказать: NMPS — прямоугольник.
Доказательство:
1) ABCD — параллелограмм, следовательно, его противоположные стороны равны и параллельны: AB || CD, AD || BC. Также противоположные углы равны: ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
2) Рассмотрим сумму углов при одной стороне параллелограмма. Например, ∠A + ∠B = 180°, так как это односторонние углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AB. Аналогично, ∠C + ∠D = 180°.
3) Рассмотрим треугольник ABN. В нем биссектриса BB₁ делит угол B пополам, а биссектриса AA₁ делит угол A пополам. Следовательно, ∠ABN = ∠B / 2, ∠BAN = ∠A / 2. Сумма углов треугольника ABN равна 180°, поэтому ∠BNA = 180° — (∠ABN + ∠BAN) = 180° — (∠B / 2 + ∠A / 2) = 180° — (∠B + ∠A) / 2 = 180° — 180° / 2 = 90°. Таким образом, треугольник ABN — прямоугольный.
4) Рассмотрим треугольник CPD. В нем биссектриса DD₁ делит угол D пополам, а биссектриса CC₁ делит угол C пополам. Следовательно, ∠PDC = ∠D / 2, ∠DCP = ∠C / 2. Сумма углов треугольника CPD равна 180°, поэтому ∠CPD = 180° — (∠PDC + ∠DCP) = 180° — (∠D / 2 + ∠C / 2) = 180° — (∠D + ∠C) / 2 = 180° — 180° / 2 = 90°. Таким образом, треугольник CPD — прямоугольный.
5) Углы ∠MNS и ∠BNA являются вертикальными, поэтому ∠MNS = ∠BNA = 90°. Аналогично, углы ∠MPS и ∠CPD являются вертикальными, поэтому ∠MPS = ∠CPD = 90°.
6) Рассмотрим прямые BB₁ и DD₁. Угол ∠CBB₁ равен углу ∠BB₁A, так как они являются накрест лежащими при параллельных прямых BC и AD и секущей BB₁. Угол ∠BB₁A равен углу ∠DDA, так как они являются соответственными при параллельных прямых BB₁ и DD₁ и секущей AD. Следовательно, DD₁ || BB₁.
7) Рассмотрим прямые AA₁ и CC₁. Угол ∠BAA₁ равен углу ∠DAA₁, так как они являются накрест лежащими при параллельных прямых AB и CD и секущей AA₁. Угол ∠AA₁B равен углу ∠BCC₁, так как они являются соответственными при параллельных прямых AA₁ и CC₁ и секущей BC. Следовательно, AA₁ || CC₁.
8) Четырехугольник NMPS имеет противоположные стороны, параллельные друг другу (по построению), поэтому NMPS — параллелограмм.
9) В параллелограмме NMPS два угла равны 90° (∠MNS = 90°, ∠MPS = 90°), следовательно, все углы NMPS равны 90°.
10) Таким образом, NMPS — прямоугольник, так как это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Доказательство завершено.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.