Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 411 Атанасян — Подробные Ответы
В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипотенузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что полученный четырёхугольник — квадрат.
Дано: треугольник ABC, CD — биссектриса угла C, DF || AC, CE || DF. Доказать: CFDE — квадрат.
Доказательство:
1) DF || AC и CE || DF, значит, CFDE — параллелограмм.
2) Угол DEC = 90°, так как DEC + C = 180°, а C = 90°.
3) В параллелограмме CFDE все углы равны 90°, значит, это прямоугольник.
4) В треугольнике CDF угол CDF = 45°, угол F = 90°, значит, CDF — равнобедренный, и DF = CF.
5) В прямоугольнике CFDE стороны ED = CF = DF = EC, значит, все стороны равны.
6) Прямоугольник с равными сторонами — квадрат.
Ответ: CFDE — квадрат.
Дано: треугольник ABC, CD — биссектриса угла C, DF || AC, CE || DF.
Доказать: CFDE — квадрат.
Доказательство:
1) Рассмотрим треугольник ABC. CD — биссектриса угла C, значит, она делит угол C на два равных угла.
2) По условию DF || AC. Из параллельности следует, что угол CDF = угол CAB (соответственные углы).
3) Также по условию CE || DF. Это означает, что угол DEC = угол FDC (соответственные углы).
4) Рассмотрим углы в точке E. Угол DEC + угол C = 180°, так как они односторонние при параллельных прямых DF и AC. Поскольку угол C = 90°, угол DEC = 90°.
5) В четырёхугольнике CFDE углы DEC и F равны 90°, а углы C и D также равны 90° по свойству параллелограмма. Таким образом, CFDE — прямоугольник.
6) Рассмотрим треугольник CDF. Угол CDF = 45°, так как CD — биссектриса угла C, который равен 90°. Угол F = 90°, значит, угол DCF = 45°. Следовательно, треугольник CDF — равнобедренный, и DF = CF.
7) В прямоугольнике CFDE стороны ED = CF и DF = EC. Поскольку DF = CF, все стороны прямоугольника равны: ED = CF = DF = EC.
8) Прямоугольник с равными сторонами является квадратом.
9) Таким образом, CFDE — квадрат.
Ответ: CFDE — квадрат.
Детализация:
— Использованы свойства параллельных прямых и биссектрисы.
— Доказаны равенства углов и сторон через свойства треугольников и параллелограмма.
— Подтверждено, что все стороны квадрата равны, а углы составляют 90°.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.