ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 408 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ делит его угол пополам.

Дано: ABCD — параллелограмм.
а) BD ⊥ AC.
б) AC — биссектриса ∠A и ∠C.
Доказать: ABCD — ромб.

Доказательство:

а)
1) ABCD — параллелограмм, значит BC = AD, CD = AB, BO = OD, CO = AO.
2) BO = OD, CO — общая сторона, следовательно ΔCOB = ΔCOD по двум катетам.
3) BC = CD.
4) AB = CD = BC = AD, следовательно ABCD — ромб.

б)
1) AC — биссектриса ∠A и ∠C, значит ∠ACD = ∠DAC.
2) ΔCDA — равнобедренный, CD = AD.
3) ∠BCA = ∠BAC, следовательно ΔABC — равнобедренный, BC = AB.
4) ABCD — параллелограмм, значит BC = AD, CD = AB.
5) AB = CD = BC = AD, следовательно ABCD — ромб.

Ответ: ABCD — ромб.

Дано: ABCD — параллелограмм.
а) BD ⊥ AC.
б) AC — биссектриса ∠A и ∠C.
Доказать: ABCD — ромб.

Доказательство:

а)
1) ABCD — параллелограмм, значит BC = AD, CD = AB, BO = OD, CO = AO (по свойству параллелограмма).
2) BO = OD, CO — общая сторона, следовательно треугольники COB и COD равны по двум катетам.
3) Из равенства треугольников следует, что BC = CD (как соответствующие стороны).
4) Так как AB = CD и BC = AD (по свойству параллелограмма), а BC = CD, то AB = CD = BC = AD.
5) Следовательно, ABCD — ромб (по определению ромба).

б)
1) AC — биссектриса ∠A и ∠C, значит ∠ACD = ∠DAC.
2) Из этого следует, что треугольник CDA — равнобедренный, и CD = AD.
3) Также AC — биссектриса ∠C, значит ∠BCA = ∠BAC.
4) Из этого следует, что треугольник ABC — равнобедренный, и BC = AB.
5) ABCD — параллелограмм, значит BC = AD и CD = AB (по свойству параллелограмма).
6) Так как CD = AD и BC = AB, а BC = AD и CD = AB, то AB = CD = BC = AD.
7) Следовательно, ABCD — ромб (по определению ромба).

Ответ: ABCD — ромб.