Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 382 Атанасян — Подробные Ответы
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырёхугольник A1B1C1D1, вершинами которого являются середины отрезков ОА, ОB, ОС и OD, — параллелограмм.
В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O и делятся пополам. По условию AA1 = A1O, BB1 = B1O, CC1 = C1O, DD1 = D1O, значит, A1, B1, C1, D1 — середины отрезков AO, BO, CO, DO соответственно. Так как AO = OC и BO = OD, то A1O = C1O и B1O = D1O. В четырехугольнике A1B1C1D1 диагонали A1C1 и B1D1 делятся точкой O пополам. По признаку параллелограмма, A1B1C1D1 — параллелограмм.
Доказательство завершено.
Полное решение задачи с детализацией:
Дано: ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, пересекающиеся в точке O. BB1 = B1O, CC1 = C1O, AA1 = A1O, DD1 = D1O.
Доказать: A1B1C1D1 — параллелограмм.
Доказательство:
1. Рассмотрим параллелограмм ABCD. По свойству параллелограмма, его диагонали AC и BD пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. Таким образом, AO = OC и BO = OD.
2. По условию задачи:
— AA1 = A1O, значит, точка A1 является серединой отрезка AO.
— CC1 = C1O, значит, точка C1 является серединой отрезка CO.
— BB1 = B1O, значит, точка B1 является серединой отрезка BO.
— DD1 = D1O, значит, точка D1 является серединой отрезка DO.
3. Так как AO = OC и A1, C1 — середины этих отрезков, то A1O = C1O. Аналогично, BO = OD и B1, D1 — середины, значит, B1O = D1O.
4. Рассмотрим четырехугольник A1B1C1D1. В нем диагонали A1C1 и B1D1 пересекаются в точке O.
5. Поскольку A1O = C1O и B1O = D1O, диагонали A1C1 и B1D1 делятся точкой O пополам.
6. По третьему признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.
7. Таким образом, четырехугольник A1B1C1D1 удовлетворяет этому признаку и является параллелограммом.
Вывод: A1B1C1D1 — параллелограмм.
Доказательство завершено.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.