Учебник по геометрии для 7-9 классов под авторством Атанасяна является ценным ресурсом для школьников и учителей. Он предлагает четкую и последовательную систему изучения геометрии, способствующую развитию логического мышления и пространственного воображения.
ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 371 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом,
если: а) ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠DAC; б) AB || CD, ∠A = ∠C.
Дано: ABCD — выпуклый четырехугольник.
а) Углы ∠BAC и ∠ACD равны, ∠DCA и ∠DAC равны, AC — общая сторона. Треугольники ABC и ADC равны по второму признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует, что BC = AD и BC || AD. Так как противоположные стороны равны и параллельны, то ABCD — параллелограмм.
б) AB || CD, ∠A = ∠C. Углы ∠A и ∠D — односторонние при параллельных AB и CD, их сумма равна 180°. Аналогично ∠B и ∠C. Из условия ∠A = ∠C, значит, ∠B = ∠D. Противоположные стороны параллельны, противоположные углы равны, следовательно, ABCD — параллелограмм.
Ответ: ABCD — параллелограмм.
Дано: ABCD — выпуклый четырехугольник
а) ∠BAC = ∠ACD, ∠DCA = ∠DAC
б) AB || CD, ∠A = ∠C
Доказать: ABCD — параллелограмм
Решение:
а)
1. По условию задачи углы ∠BAC и ∠ACD равны, а также углы ∠DCA и ∠DAC равны. Общая сторона AC принадлежит треугольникам ABC и ADC.
2. Таким образом, треугольники ABC и ADC равны по второму признаку равенства треугольников (сторона и два прилежащих угла).
3. Из равенства треугольников следует, что BC = AD, так как это соответствующие стороны равных треугольников.
4. Углы ∠BCA и ∠CAD равны, так как они накрест лежащие при секущей AC и параллельных BC и AD. Следовательно, BC || AD.
5. Так как противоположные стороны BC и AD равны и параллельны, то по первому признаку параллелограмма четырехугольник ABCD является параллелограммом.
б)
1. По условию задачи углы ∠A и ∠D являются внутренними односторонними при параллельных прямых AB и CD и секущей AD, поэтому их сумма равна 180 градусам: ∠A + ∠D = 180°.
2. Аналогично углы ∠B и ∠C являются внутренними односторонними при параллельных прямых AB и CD и секущей BC, поэтому их сумма также равна 180 градусам: ∠B + ∠C = 180°.
3. По условию задачи углы ∠A и ∠C равны. Следовательно, углы ∠B и ∠D также равны, так как ∠B = 180° — ∠A, а ∠D = 180° — ∠C.
4. Таким образом, противоположные стороны AB и CD параллельны, а противоположные углы равны.
5. Следовательно, четырехугольник ABCD является параллелограммом по первому признаку параллелограмма.
Вывод: четырехугольник ABCD является параллелограммом.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.