ГДЗ по Геометрии 8 класс Номер 732 Атанасян — Подробные Ответы

В прямоугольном треугольнике \( ABC \) из точки \( M \) стороны \( AC \) проведён перпендикуляр \( MN \) к гипотенузе \( AB \). Докажите, что углы \( MNC \) и \( MBC \) равны.

Дано:
\(\triangle ABC\) — прямоугольный, \(\angle C = 90^\circ\), \(M \in AC\), \(MH \perp AB\), \(H \in AB\).
Доказать: \(\angle MHC = \angle MBC\).

Рассмотрим четырехугольник \(BCHM\). Углы \(\angle C = 90^\circ\) и \(\angle H = 90^\circ\) по условию. Сумма углов четырехугольника равна \(360^\circ\), значит:
\(
\angle B + \angle M + \angle C + \angle H = 360^\circ.
\)
Отсюда:
\(
\angle C + \angle H = \angle B + \angle M = 180^\circ.
\)
Значит, четырехугольник \(BCHM\) вписан в окружность.

Вписанные углы \(\angle MHC\) и \(\angle MBC\) опираются на одну и ту же дугу \(MC\), следовательно:
\(
\angle MHC = \angle MBC.
\)
Что и требовалось доказать.

Дано:
\(\triangle ABC\) — прямоугольный, \(\angle C = 90^\circ\), \(M \in AC\), \(MH \perp AB\), \(H \in AB\).
Доказать: \(\angle MHC = \angle MBC\).

Рассмотрим четырехугольник \(BCHM\).

1. Углы \(\angle C = 90^\circ\) и \(\angle H = 90^\circ\) известны из условия задачи.

2. Сумма углов любого четырехугольника равна \(360^\circ\) (теорема о сумме углов четырехугольника). Следовательно:
\(
\angle B + \angle M + \angle C + \angle H = 360^\circ.
\)

3. Подставим известные значения углов \(\angle C\) и \(\angle H\):
\(
90^\circ + 90^\circ + \angle B + \angle M = 360^\circ.
\)

4. Упростим выражение:
\(
\angle B + \angle M = 180^\circ.
\)

5. Таким образом, сумма противоположных углов четырехугольника \(BCHM\) равна \(180^\circ\). Это означает, что четырехугольник \(BCHM\) вписан в окружность (по признаку вписанности четырехугольника).

6. Вписанные углы \(\angle MHC\) и \(\angle MBC\) опираются на одну и ту же дугу \(MC\).

7. По свойству вписанных углов, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны. Следовательно:
\(
\angle MHC = \angle MBC.
\)

Что и требовалось доказать.