ГДЗ по Геометрии 7 класс Номер 76 Атанасян — Подробные Ответы

Отрезок АВ длины а разделён точками Р и Q на три отрезка AP, PQ и QB так, что AP = 2PQ = 2QB. Найдите расстояние между: а) точкой А и серединой отрезка QB; б) серединами отрезков AP и QB.

Дано: \(AB = a\), \(AP = 2PQ = 2QB\). Тогда \(PQ = QB = \frac{a}{4}\), \(AP = \frac{a}{2}\).

а) Найдём расстояние между точкой \(A\) и серединой отрезка \(QB\). Середина \(QB\) находится на расстоянии \(\frac{a}{8}\) от точки \(Q\). Значит, расстояние \(AC = AP + PQ + \frac{a}{8} = \frac{a}{2} + \frac{a}{4} + \frac{a}{8} = \frac{7a}{8}\).

б) Найдём расстояние между серединами отрезков \(AP\) и \(QB\). Середина \(AP\) — точка \(D\), расстояние \(AD = \frac{AP}{2} = \frac{a}{4}\). Середина \(QB\) — точка \(C\), расстояние \(QC = \frac{QB}{2} = \frac{a}{8}\). Тогда расстояние между \(D\) и \(C\):

\(DC = DP + PQ + QC = \frac{a}{4} + \frac{a}{4} + \frac{a}{8} = \frac{5a}{8}\).

Ответ: а) \(\frac{7a}{8}\); б) \(\frac{5a}{8}\).

1. Дано: отрезок \(AB\) длины \(a\), точки \(P\) и \(Q\) делят отрезок \(AB\) на три части: \(AP\), \(PQ\) и \(QB\). Из условия: \(AP = 2PQ = 2QB\).

2. Обозначим длину отрезка \(AP\) как \(x\). Тогда \(PQ = \frac{x}{2}\), \(QB = \frac{x}{2}\). Сумма всех частей равна длине всего отрезка:

\(AP + PQ + QB = x + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} = 2x = a\).

Отсюда \(x = \frac{a}{2}\).

3. Значит, \(AP = \frac{a}{2}\), \(PQ = \frac{a}{4}\), \(QB = \frac{a}{4}\).

4. а) Найдём расстояние между точкой \(A\) и серединой отрезка \(QB\). Середина отрезка \(QB\) делит его пополам, значит длина отрезка от \(Q\) до середины \(QB\) равна \(\frac{QB}{2} = \frac{a}{8}\).

5. Расстояние \(AC\) между \(A\) и серединой \(QB\) равно сумме отрезков \(AP + PQ + QC\), где \(QC = \frac{a}{8}\):

\(AC = \frac{a}{2} + \frac{a}{4} + \frac{a}{8} = \frac{4a}{8} + \frac{2a}{8} + \frac{a}{8} = \frac{7a}{8}\).

6. б) Найдём расстояние между серединами отрезков \(AP\) и \(QB\).

7. Середина отрезка \(AP\) — точка \(D\), её расстояние от \(A\) равно половине \(AP\):

\(AD = \frac{AP}{2} = \frac{a}{4}\).

8. Середина отрезка \(QB\) — точка \(C\), расстояние от \(Q\) до \(C\) равно \(\frac{a}{8}\). Расстояние от \(A\) до \(Q\) равно \(AP + PQ = \frac{a}{2} + \frac{a}{4} = \frac{3a}{4}\).

9. Тогда расстояние от \(A\) до \(C\) равно:

\(AC = AQ + QC = \frac{3a}{4} + \frac{a}{8} = \frac{6a}{8} + \frac{a}{8} = \frac{7a}{8}\).

10. Расстояние между серединами \(D\) и \(C\) равно разности \(AC — AD\):

\(DC = \frac{7a}{8} — \frac{a}{4} = \frac{7a}{8} — \frac{2a}{8} = \frac{5a}{8}\).

Ответ: а) \(\frac{7a}{8}\); б) \(\frac{5a}{8}\).