ГДЗ по Геометрии 7 класс Номер 348 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой, проведёнными из той же вершины, пополам.

Дано: треугольник ABC, угол C = 90°, AC < BC, CM — медиана, CD — биссектриса, CH — высота. Требуется доказать, что угол HCD равен углу MCD.

Рассмотрим решение.

Так как CD — биссектриса, то угол ACD равен углу BCD и составляет 45°. Пусть угол B равен α, тогда угол A равен 90° — α. Высота CH образует угол ACH = α. Медиана CM равна половине гипотенузы, поэтому CM = MB = MC. Треугольник BMC равнобедренный, значит угол BCM равен углу B и равен α. Угол AMC как внешний в треугольнике BMC равен сумме углов B и BCM, то есть AMC = α + α = 2α.

В треугольнике ACD угол ADC равен 180° — (угол A + угол ACD), то есть ADC = 180° — (90° — α + 45°) = 45° + α. Угол CDB равен 180° — угол ADC, то есть CDB = 135° — α. В треугольнике CDM угол MCD равен разности углов BCD и BCM, то есть MCD = 45° — α. В треугольнике CHD угол HCD равен разности углов ACD и ACH, то есть HCD = 45° — α.

Таким образом, углы MCD и HCD равны, что и требовалось доказать.

Дано: треугольник ABC, где угол C = 90°, AC < BC, CM — медиана, CD — биссектриса, CH — высота. Требуется доказать, что угол HCD равен углу MCD.

Рассмотрим решение задачи.

1. Поскольку CD является биссектрисой, то она делит угол C пополам. Следовательно, угол ACD равен углу BCD и составляет половину угла C:
ACD = BCD = C / 2 = 90° / 2 = 45°.

2. Пусть угол B обозначим за α. Тогда угол A можно выразить через α, так как сумма углов в треугольнике ABC равна 180°:
A = 90° — α.

3. Высота CH перпендикулярна стороне AB. Угол ACH можно найти как разность прямого угла (90°) и угла A:
ACH = 90° — A = 90° — (90° — α) = α.

4. В прямоугольном треугольнике ABC медиана CM делит гипотенузу AB пополам. Следовательно, CM = MB = MC.

5. Рассмотрим треугольник BMC. Он является равнобедренным, так как MB = MC. В таком случае углы при основании равны:
BCM = B = α.

6. Угол AMC является внешним углом треугольника BMC. По свойству внешнего угла он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:
AMC = B + BCM = α + α = 2α.

7. Перейдем к треугольнику ACD. Найдем угол ADC. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому:
ADC = 180° — (A + ACD).
Подставим известные значения:
ADC = 180° — (90° — α + 45°) = 180° — 135° + α = 45° + α.

8. Найдем угол CDB как смежный с углом ADC. Сумма смежных углов равна 180°, поэтому:
CDB = 180° — ADC = 180° — (45° + α) = 135° — α.

9. Рассмотрим треугольник CDM. Угол MCD можно найти как разность углов BCD и BCM:
MCD = BCD — BCM = 45° — α.

10. Теперь рассмотрим треугольник CHD. Угол HCD равен разности углов ACD и ACH:
HCD = ACD — ACH = 45° — α.

11. Сравним углы MCD и HCD. Мы получили, что:
MCD = 45° — α,
HCD = 45° — α.
Следовательно, MCD = HCD.

Таким образом, доказано, что угол HCD равен углу MCD.