ГДЗ по Геометрии 7 класс Номер 219 Атанасян — Подробные Ответы

Даны две прямые a и b. Докажите, что если любая прямая, пересекающая прямую a, пересекает и прямую b, то прямые a и b параллельны.

Дано: прямая c пересекает прямую a в точке 1 и прямую b в точке 2. Требуется доказать, что прямые a и b параллельны.

Решение: если прямые a и b не параллельны, то они пересекаются в некоторой точке. Тогда любая прямая, пересекающая a, должна проходить через эту точку пересечения, чтобы пересечь b. Однако прямая c пересекает a и b в разных точках, что противоречит предположению о пересечении a и b. Следовательно, прямые a и b не пересекаются. Так как они лежат в одной плоскости и не пересекаются, то по определению они параллельны.

Дано: прямые a и b, которые лежат в одной плоскости. Любая прямая, пересекающая a, также пересекает b. Требуется доказать, что прямые a и b параллельны.

Рассмотрим доказательство.

1. Пусть прямая c пересекает прямую a в точке 1 и прямую b в точке 2. Это условие выполняется, так как по условию задачи любая прямая, пересекающая a, обязательно пересекает b.

2. Предположим, что прямые a и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке O. В таком случае, если прямая c пересекает a, она должна проходить через точку O, чтобы пересечь b, так как точка пересечения прямых a и b является единственной общей точкой для этих двух прямых. Однако на рисунке видно, что прямая c пересекает a и b в разных точках (точка 1 и точка 2). Это противоречит предположению о том, что a и b пересекаются.

3. Таким образом, предположение о том, что прямые a и b не параллельны, приводит к противоречию. Следовательно, прямые a и b не пересекаются.

4. Прямые a и b лежат в одной плоскости (это следует из условия задачи, так как они обе пересекаются с прямой c). Если две прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются, то они параллельны.

Вывод: прямые a и b параллельны. Доказательство завершено.