1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по геометрии за 11 класс Учебник 📕 Атанасян — Все Части
Геометрия
11 класс учебник Атанасян
11 класс
Тип
ГДЗ, Решебник.
Авторы
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г.
Год
2015-2025
Издательство
Просвещение
Описание

Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?

Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.

Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.

Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.

Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.

Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.

Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.

В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.

ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 8 Номер 6 Атанасян — Подробные Ответы

Задача

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, где все рёбра равны 23, расстояние между точками D и F1 равно \(23\sqrt{3}\).

Краткий ответ:

Рассмотрим задачу о нахождении длины отрезка DF₁ в правильной призме.

Дано:
— правильная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁
— AB = AA₁ = 23

Решение:

Сначала найдем длину отрезка FD. Для этого рассмотрим треугольник FED.
В этом треугольнике:
— FE = ED = AB = 23 (так как в правильной призме все ребра основания равны)
— угол E = 120° (так как основание — правильный шестиугольник)

Применим теорему косинусов для треугольника FED:
\(FD^2 = FE^2 + ED^2 — 2 \cdot FE \cdot ED \cdot \cos E\)

Подставим известные значения:
\(FD^2 = 23^2 + 23^2 — 2 \cdot 23^2 \cdot \cos 120°\)

Так как \(\cos 120° = -0,5\), получаем:
\(FD^2 = 23^2 + 23^2 — 2 \cdot 23^2 \cdot (-0,5) = 23^2 + 23^2 + 23^2 = 3 \cdot 23^2\)

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник DF₁F:
— DF — найденная нами сторона
— FF₁ = AA₁ = 23 (высота призмы)
— DF₁ — искомая диагональ

По теореме Пифагора:
\(DF_1^2 = FD^2 + FF_1^2 = 3 \cdot 23^2 + 23^2 = 4 \cdot 23^2\)

Отсюда:
\(DF_1 = \sqrt{4 \cdot 23^2} = 2 \cdot 23 = 46\)

Ответ: 46.

Подробный ответ:

Рассмотрим задачу о нахождении длины отрезка DF₁ в правильной призме.

Дано: правильная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, AB = AA₁ = 23.
Найти: DF₁.

Решение:

Начнем с анализа геометрической фигуры. У нас имеется правильная призма, в основании которой лежит правильный шестиугольник ABCDEF. Верхнее основание призмы — правильный шестиугольник A₁B₁C₁D₁E₁F₁. Высота призмы равна AA₁ = 23.

Для нахождения длины отрезка DF₁ разобьем решение на логические этапы.

Этап 1: Найдем длину отрезка FD.
Для этого рассмотрим треугольник FED в нижнем основании призмы. Так как основание — правильный шестиугольник, то все его стороны равны между собой, то есть FE = ED = AB = 23.

Также в правильном шестиугольнике углы между соседними сторонами равны 120°. Поэтому угол E в треугольнике FED равен 120°.

Применим теорему косинусов для треугольника FED:
\(FD^2 = FE^2 + ED^2 — 2 \cdot FE \cdot ED \cdot \cos E\)

Подставим известные значения:
\(FD^2 = 23^2 + 23^2 — 2 \cdot 23 \cdot 23 \cdot \cos 120°\)

Вычислим значение косинуса:
\(\cos 120° = -0,5\)

Продолжим вычисления:
\(FD^2 = 23^2 + 23^2 — 2 \cdot 23^2 \cdot (-0,5)\)
\(FD^2 = 529 + 529 — 2 \cdot 529 \cdot (-0,5)\)
\(FD^2 = 1058 + 529 = 1587\)

Можно также записать это в виде:
\(FD^2 = 23^2 + 23^2 + 23^2 = 3 \cdot 23^2\)

Таким образом, \(FD^2 = 3 \cdot 23^2\).

Этап 2: Найдем длину отрезка DF₁.
Рассмотрим треугольник DF₁F. Этот треугольник является прямоугольным, так как отрезок FF₁ перпендикулярен плоскости нижнего основания призмы.

В этом треугольнике:
— DF — сторона, длину которой мы нашли на предыдущем этапе
— FF₁ = AA₁ = 23 (высота призмы)
— DF₁ — искомая диагональ

По теореме Пифагора:
\(DF_1^2 = DF^2 + FF_1^2\)

Подставим известные значения:
\(DF_1^2 = 3 \cdot 23^2 + 23^2 = 4 \cdot 23^2\)

Извлечем квадратный корень:
\(DF_1 = \sqrt{4 \cdot 23^2} = 2 \cdot 23 = 46\)

Проверка: \(46^2 = 2116\), а \(4 \cdot 23^2 = 4 \cdot 529 = 2116\). Значит, наши вычисления верны.

Таким образом, длина отрезка DF₁ равна 46 единиц.

Ответ: 46.


Исследовательские задачи
Общая оценка
4 / 5
Комментарии
Другие предметы
Как пользоваться ГДЗ

Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.