Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 8 Номер 6 Атанасян — Подробные Ответы
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, где все рёбра равны 23, расстояние между точками D и F1 равно \(23\sqrt{3}\).
Рассмотрим задачу о нахождении длины отрезка DF₁ в правильной призме.
Дано:
— правильная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁
— AB = AA₁ = 23
Решение:
Сначала найдем длину отрезка FD. Для этого рассмотрим треугольник FED.
В этом треугольнике:
— FE = ED = AB = 23 (так как в правильной призме все ребра основания равны)
— угол E = 120° (так как основание — правильный шестиугольник)
Применим теорему косинусов для треугольника FED:
\(FD^2 = FE^2 + ED^2 — 2 \cdot FE \cdot ED \cdot \cos E\)
Подставим известные значения:
\(FD^2 = 23^2 + 23^2 — 2 \cdot 23^2 \cdot \cos 120°\)
Так как \(\cos 120° = -0,5\), получаем:
\(FD^2 = 23^2 + 23^2 — 2 \cdot 23^2 \cdot (-0,5) = 23^2 + 23^2 + 23^2 = 3 \cdot 23^2\)
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник DF₁F:
— DF — найденная нами сторона
— FF₁ = AA₁ = 23 (высота призмы)
— DF₁ — искомая диагональ
По теореме Пифагора:
\(DF_1^2 = FD^2 + FF_1^2 = 3 \cdot 23^2 + 23^2 = 4 \cdot 23^2\)
Отсюда:
\(DF_1 = \sqrt{4 \cdot 23^2} = 2 \cdot 23 = 46\)
Ответ: 46.
Рассмотрим задачу о нахождении длины отрезка DF₁ в правильной призме.
Дано: правильная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, AB = AA₁ = 23.
Найти: DF₁.
Решение:
Начнем с анализа геометрической фигуры. У нас имеется правильная призма, в основании которой лежит правильный шестиугольник ABCDEF. Верхнее основание призмы — правильный шестиугольник A₁B₁C₁D₁E₁F₁. Высота призмы равна AA₁ = 23.
Для нахождения длины отрезка DF₁ разобьем решение на логические этапы.
Этап 1: Найдем длину отрезка FD.
Для этого рассмотрим треугольник FED в нижнем основании призмы. Так как основание — правильный шестиугольник, то все его стороны равны между собой, то есть FE = ED = AB = 23.
Также в правильном шестиугольнике углы между соседними сторонами равны 120°. Поэтому угол E в треугольнике FED равен 120°.
Применим теорему косинусов для треугольника FED:
\(FD^2 = FE^2 + ED^2 — 2 \cdot FE \cdot ED \cdot \cos E\)
Подставим известные значения:
\(FD^2 = 23^2 + 23^2 — 2 \cdot 23 \cdot 23 \cdot \cos 120°\)
Вычислим значение косинуса:
\(\cos 120° = -0,5\)
Продолжим вычисления:
\(FD^2 = 23^2 + 23^2 — 2 \cdot 23^2 \cdot (-0,5)\)
\(FD^2 = 529 + 529 — 2 \cdot 529 \cdot (-0,5)\)
\(FD^2 = 1058 + 529 = 1587\)
Можно также записать это в виде:
\(FD^2 = 23^2 + 23^2 + 23^2 = 3 \cdot 23^2\)
Таким образом, \(FD^2 = 3 \cdot 23^2\).
Этап 2: Найдем длину отрезка DF₁.
Рассмотрим треугольник DF₁F. Этот треугольник является прямоугольным, так как отрезок FF₁ перпендикулярен плоскости нижнего основания призмы.
В этом треугольнике:
— DF — сторона, длину которой мы нашли на предыдущем этапе
— FF₁ = AA₁ = 23 (высота призмы)
— DF₁ — искомая диагональ
По теореме Пифагора:
\(DF_1^2 = DF^2 + FF_1^2\)
Подставим известные значения:
\(DF_1^2 = 3 \cdot 23^2 + 23^2 = 4 \cdot 23^2\)
Извлечем квадратный корень:
\(DF_1 = \sqrt{4 \cdot 23^2} = 2 \cdot 23 = 46\)
Проверка: \(46^2 = 2116\), а \(4 \cdot 23^2 = 4 \cdot 529 = 2116\). Значит, наши вычисления верны.
Таким образом, длина отрезка DF₁ равна 46 единиц.
Ответ: 46.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.