Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 8 Номер 5 Атанасян — Подробные Ответы
Диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6, а высота пирамиды равна 4. Длина бокового ребра равна \(5\).
Рассмотрим задачу с пирамидой MABCD, где ABCD — квадрат.
Дано:
— ABCD — квадрат
— MH — высота пирамиды, MH = 4
— AC = 6
— H — точка пересечения диагоналей квадрата
Найдем длину AH:
Поскольку H — точка пересечения диагоналей квадрата, то AH = CH = \(\frac{1}{2} \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3\)
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AHM:
— AH = 3
— MH = 4
— Угол AHM = 90° (так как MH перпендикулярна плоскости ABCD)
По теореме Пифагора:
\(AM^2 = AH^2 + MH^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)
\(AM = \sqrt{25} = 5\)
Ответ: 5.
Рассмотрим задачу о нахождении длины отрезка AM в пирамиде MABCD.
Дано:
— ABCD — квадрат
— M — вершина пирамиды
— MH — высота пирамиды, перпендикулярная плоскости ABCD
— AC = 6
— MH = 4
— Требуется найти AM
Решение:
1) Сначала разберемся с геометрией задачи. У нас есть пирамида MABCD, в основании которой лежит квадрат ABCD. Точка M — вершина пирамиды, а MH — высота пирамиды, где H — точка в плоскости основания.
2) Из условия известно, что MH перпендикулярна плоскости ABCD, то есть MH ⊥ ABCD. Также указано, что H принадлежит пересечению диагоналей квадрата, то есть H = AC ∩ BD.
3) Найдем координаты точки H. Поскольку H — точка пересечения диагоналей квадрата ABCD, то H является центром квадрата. В квадрате диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому:
AH = CH = \(\frac{1}{2} \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3\)
4) Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AHM:
— Угол AHM = 90°, так как MH перпендикулярна плоскости ABCD, а значит и любой прямой в этой плоскости, проходящей через H, в том числе и AH.
— Катет AH = 3 (мы только что вычислили)
— Катет MH = 4 (дано по условию)
5) Применим теорему Пифагора для нахождения гипотенузы AM в прямоугольном треугольнике AHM:
\(AM^2 = AH^2 + MH^2\)
\(AM^2 = 3^2 + 4^2\)
\(AM^2 = 9 + 16\)
\(AM^2 = 25\)
\(AM = \sqrt{25} = 5\)
6) Проверим результат. Мы получили, что AM = 5. Это соответствует условию задачи и согласуется с геометрическим смыслом: длина ребра пирамиды от вершины M до вершины основания A равна 5 единицам.
Важно отметить, что в данной задаче мы использовали свойства квадрата:
— Диагонали квадрата пересекаются и делятся точкой пересечения пополам
— Диагонали квадрата равны между собой
— Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны
Также мы использовали свойство высоты пирамиды: высота перпендикулярна плоскости основания.
Таким образом, мы нашли длину ребра AM пирамиды MABCD, которая равна 5 единицам.
Ответ: 5.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.