Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 8 Номер 4 Атанасян — Подробные Ответы
В правильной треугольной пирамиде SABC, где медианы основания пересекаются в точке M, объём пирамиды равен 1, а площадь треугольника ABC, если MS=1, равна \(\frac{1}{3}\).
В правильном треугольнике ABC медианы AA₁ и BB₁ пересекаются в точке M, которая является центром треугольника.
В пирамиде SABC точка M лежит в основании, а высота SM перпендикулярна плоскости основания ABC.
Объем пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h\), где \(S_{осн}\) — площадь основания, а \(h\) — высота пирамиды.
Нам дано, что \(V = 1\) и \(MS = 1\), то есть высота пирамиды \(h = MS = 1\).
Подставим в формулу объема: \(V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot 1 = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} = 1\)
Отсюда получаем: \(\frac{1}{3} \cdot S_{ABC} = 1\), следовательно \(S_{ABC} = 3\).
Ответ: 3.
Рассмотрим задачу о нахождении площади основания пирамиды SABC.
Дано: правильный треугольник ABC в основании пирамиды SABC; медианы AA₁ и BB₁ в треугольнике ABC; точка M является точкой пересечения медиан AA₁ и BB₁; объем пирамиды V = 1; расстояние от вершины S до точки M равно MS = 1.
Требуется найти: площадь основания пирамиды, то есть площадь треугольника ABC (S₍ₐₑₒ₎).
Решение:
Шаг 1: Проанализируем свойства точки M в треугольнике ABC.
В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центроидом или центром масс треугольника. Таким образом, M — это центр масс треугольника ABC. В правильном треугольнике центр масс совпадает с центром описанной окружности, центром вписанной окружности и точкой пересечения высот.
Шаг 2: Рассмотрим геометрическую конфигурацию пирамиды SABC.
Вершина S пирамиды расположена над точкой M таким образом, что SM перпендикулярна плоскости ABC. Это означает, что SM является высотой пирамиды, проведенной к основанию ABC.
Шаг 3: Вычислим объем пирамиды SABC.
Объем пирамиды вычисляется по формуле: \(V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h\), где \(S_{осн}\) — площадь основания (в нашем случае площадь треугольника ABC), а \(h\) — высота пирамиды (в нашем случае длина отрезка SM).
Шаг 4: Подставим известные значения в формулу объема.
По условию задачи, объем пирамиды V = 1, а высота пирамиды SM = 1.
Подставим эти значения в формулу объема:
\(V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot SM = 1\)
\(\frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot 1 = 1\)
\(\frac{1}{3} \cdot S_{ABC} = 1\)
Шаг 5: Найдем площадь основания пирамиды.
Из предыдущего шага получаем:
\(S_{ABC} = 3 \cdot 1 = 3\)
Таким образом, площадь правильного треугольника ABC, являющегося основанием пирамиды SABC, равна 3 квадратным единицам.
Проверка: Подставим найденное значение \(S_{ABC} = 3\) в формулу объема:
\(V = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 1 = 1\)
Получаем V = 1, что соответствует условию задачи.
Ответ: площадь основания пирамиды SABC равна 3 квадратным единицам.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.