Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Задание 8 Номер 3 Атанасян — Подробные Ответы
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S и точкой R — серединой ребра BC, площадь боковой поверхности пирамиды, если AB=1 и SR=2, равна \(2\).
В данной задаче рассматривается пирамида SABC с основанием в виде треугольника ABC.
Дано:
— пр. SABC (пирамида с основанием ABC)
— CR = BR (точка R делит сторону BC пополам)
— AB = 1
— SR = 2
1) Рассмотрим треугольник SBC. Он равнобедренный, так как CR = BR.
Из рисунка видно, что BC = 1, а SR перпендикулярен CB.
Площадь треугольника SBC можно найти по формуле:
\(S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SR = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1\)
2) В пирамиде SABC все боковые грани имеют одинаковую площадь:
\(S_{SAC} = S_{SBC} = S_{SAB} = 1\)
3) Полная площадь боковой поверхности пирамиды:
\(S_{бок} = S_{SAB} + S_{SBC} + S_{SAC} = 1 + 1 + 1 = 3\)
Ответ: 3.
Рассмотрим задачу о нахождении площади боковой поверхности пирамиды SABC.
Из условия задачи нам известно, что SABC — пирамида с основанием в виде треугольника ABC. Также даны следующие условия: CR = BR (что означает, что точка R делит сторону BC пополам), AB = 1, SR = 2.
Начнем решение с анализа геометрической конфигурации. На рисунке видно, что точка R лежит на стороне BC, причем CR = BR, то есть R — середина стороны BC. Также из рисунка видно, что SR перпендикулярна CB.
Шаг 1: Определим длину стороны BC.
Из рисунка и решения видно, что BC = 1. Это можно было бы вычислить, но в данном случае это дано в решении.
Шаг 2: Рассмотрим треугольник SBC.
Треугольник SBC является равнобедренным, так как CR = BR, а значит SB = SC (из свойств равнобедренного треугольника). Кроме того, SR перпендикулярна CB, что означает, что SR является высотой треугольника SBC, опущенной на основание BC.
Шаг 3: Найдем площадь треугольника SBC.
Площадь треугольника можно вычислить по формуле \(S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота\).
В нашем случае основание BC = 1, а высота SR = 2.
Таким образом, \(S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SR = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = \frac{2}{2} = 1\).
Шаг 4: Определим площади других боковых граней пирамиды.
В пирамиде SABC боковыми гранями являются треугольники SAB, SBC и SAC.
Из решения видно, что все эти треугольники имеют одинаковую площадь, равную 1.
То есть \(S_{SAC} = S_{SBC} = S_{SAB} = 1\).
Шаг 5: Вычислим общую площадь боковой поверхности пирамиды.
Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей всех ее боковых граней.
\(S_{бок} = S_{SAB} + S_{SBC} + S_{SAC} = 1 + 1 + 1 = 3\).
Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды SABC равна 3 квадратным единицам.
Важно отметить, что равенство площадей всех боковых граней следует из специфической геометрии данной пирамиды, где основание — равносторонний треугольник, а вершина S расположена над центром основания таким образом, что все боковые ребра имеют одинаковую длину, что делает пирамиду правильной.
Ответ: 3.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.